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領域の個数
基本例題 49 図形と漸化式 (1)
平面上に,どの3本の直線も1点を共有しない,
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2) n(n≧2) 本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
指針 (1) n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。
a2=4 (図のD1~D) であるが, ここで直線l を引くと, l3
はl1,l2と2点で交わり, この2つの交点で l3は3個の
線分または半直線に分けられ,領域は3個(図の Ds, De.
D7) 増加する。
よって
as=az+3
同様に, n番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
解答
本の直線がある。次の場
n
(1) n本の直線で平面が α 個の領域に分けられていると
する｡
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直
線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ、領域は
(n+1) 個だけ増加する。 ゆえに an+1=an+n+1
よって an+1-an=n+1
また
a₁=2
数列{an}の階差数列の一般項はn+1であるから,
n≧2のとき
n²+n+2
2
n-1
an=2+"Z(k+1)=
k=1
これはn=1のときも成り立つ。
An−1+ (n − 1) = (n−1)²+(n−1)+2
2
n²+n+2
ゆえに、求める領域の個数は
2
(2) 平行な2直線のうちの1本をeとすると, l を除く
(n-1) 本 (1) の条件を満たすから,この (n-1) 本の
直線で分けられる領域の個数は (1) から
an-1
更に,直線ℓを引くと, ℓはこれと平行な1本の直線以
外の直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が
増える。 よって, 求める領域の個数は
練習 平面上に,どの?
31.0
n=3
本の直線によって αn個の領域に分けられているとき, (n+1) 本目の直線を引
と領域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2) (n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行
なるから (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
·+(n−1)=
D3
n² + n
D₁
D.
D₂
n-1
| 4g=7
k=1
番目の直線に
(n+1)
本の直線のどれとも
でないから,交点は "
基本
ZXPV
Σ(k+1)=Zk+2
k=1
(n-1)n+n-
PX,
以下,
▼ (1) の結果を利用。
(2)
an-1は, (1) の an
代わりに n-1とな
金
