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332
a
重要 例題 214
区間に文字を含む 3次関数の最大・最小 ①①①
f(x)=x-6x2 + 9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(α)を求
めよ。
基本213)
指針 まず, y=f(x) のグラフをかく。 次に, 幅1の区間α≦x≦a +1 をx軸上で左側から移動
しながら, f(x) の最大値を考える。
i
なお、区間内でグラフが右上がりなら M (α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a)
更に、区間内に極小値を与える点を含むときは,f(a)=f(a+1) となるαとαの大小に
また,区間内に極大値を与える点を含めば,M (α)=(極大値) となる。
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック
解答
f'(x) =3x2-12x+9
[1]間の右端で最
YA
指
...
x
1
3
=3(x-1)(x-3)
f'(x) + 20
0 +
f'(x)=0 とすると
x=1, 3
f(x)
|極大|
|極小|
>
(4
0
最大
増減表から,y=f(x) のグラフは
i
図のようになる。
y4
[1] α+1<1 すなわち α <0 のとき
M(a)=f(a+1)
4
(
=(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1) Co
=a3-3a²+4
[2] a<1≦a + 1 すなわち
[2]
[3]
[4]
y=f(x) | | (x
a O 1 3
Na+1
[2] (極大値)=(最大値)
y
X
0≦a<1のとき
最大
1.
4トン
--
a01
a 3a+1 x
a+1
M(a)=f(1)=4
次に, 2<a<3のとき f(α)=f(a+1) とすると
al 3
\a+1
a3-6a2+9a-a³-3a²+4
ゆえに 32-9a+4=0&
[3] 区間の左端で最大
yA
よって
__(-9)±√(-9)2-4・3・4
9±√33
a=
4-7
2.3
6 D
2 <α <3であるから, 5<√33 <6に注意してα=
9+√33
6>0
最大)
a+1
[3] 1≦a<
9+√33
6
口 [4]
9+√33
6
のとき M(α)=f(a)=α-6a²+9a
I+ af-n=(a)M
O
1a3
a
a+1
αのとき
[4] 区間の右端で最大
M(a)=f(a+1)=α-3a²+4
y
以上から a< 0,
9+√33
6
≦a のとき M (a)=a-3a+4;
0≦a<1のとき M(a)=4;
9+√33
1≦a<
6
のとき M(a)=α-6a²+9a
練習
⑤
214 めよ。
α
05
1
a
3
最大
La+1
a+1
f(x)=x-3x²-9x とする。 区間 t≦x≦t+2 における f(x) の最小値m(t) を求
618
