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数学 高校生

問題の⑴と⑵について2つ質問させて下さい! ①私は⑴でf(x)を場合分けして分かりやすくしたのですが、定義域を表す時<を使わずに全て≦を使いました。答えは<も使っていたのですが、採点される時に私 の定義域の表し方はダメでしょうか? ②⑵において、(ⅰ)のグラフの傾きが0... 続きを読む

S1 整数方程式と不等式 1 2022年度 〔1〕 0≦a≦b≦l をみたす α bに対し, 関数 f(x)=|x(x-1)|+|(x-a)(x-b)| を考える。 x が実数の範囲を動くとき, f(x) は最小値m をもつとする。 (1) x < 0 およびx>1ではf(x) >mとなることを示せ。 (2)=f(0) またはm=f(1) であることを示せ。 (3)a,bが0≦a≦b≦1 をみたして動くとき,mの最大値を求めよ。 ポイント (1) x < 0 およびx>1のとき, f(x) の式の絶対値をはずすとxの2次関数 となるので, グラフの軸の位置を調べてf(x) >mであることを示す。 (2) 0≦x≦aおよび b≦x<1のときとa<x<bのとき. f(x) の絶対値をはずすと, そ れぞれxの1次関数,xの2次関数となる。 1次関数のグラフの直線の傾きによって場 合分けをすると, m=f(0) またはm=f(1) を示すことができる。 (32)の場合分けを用いて考えていく。 〔解法1〕 場合分けの不等式を用いて2変数関 数の最大値として求める方法, 〔解法2] 不等式の表す領域を図示して考える方法, 〔解 法3〕 相加平均と相乗平均の関係を利用する方法などがある。 解法 1 (1) f(x)=|x(x-1)+(x-a)(x-b), 0≦a≦b≦1より x < 0 およびx>1のとき f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b) =2x²- (a +6+1)x+ab = 2(x = a + b + ¹)²_ (a+b+1) 2 8 グラフの軸の方程式は, x= a+b+1 4 0≦a≦b≦1より + ab 1_a+b+] 4 はx<0のとき単調減少, x>1のとき単調増加となるの 3 となる。 Level C であるから, f(x) Oa+b+1 4 で, 最小値はもたない。 f(x)は連続関数で最小値がmであるから,x< 0 およびx>1ではf(x) >mとなる。 (証明終) (2) 0≦x≦aおよび b≦x≦1のとき f(x)=-x(x-1)+(x-a)(x-b) =(1-a-b)x+ab a<x<bのとき f(x)=-x(x-1)- (x-a)(x-b) =-2x² + (a+b+1)x -ab - 2(x_ a + b + ¹)² + . a+b+12 4 (i) 1-a-b≦0 すなわちa+b≧1 のとき 0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x)のグラフの傾き は0以下であるから, f(x) は単調減少または一定であ る。 a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。 よって, 0≦x≦1におけるf(x)のグラフは右図のよう になるので,この範囲における最小値は,α+6>1 のと き (1), g+b=1のとき(0)=f(1) となる。 (ii) 1-a-b>0 すなわち a +6 <1のとき 0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x) のグラフの傾き は正であるから, f(x) は単調増加である。 a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。 よって, 0≦x≦1におけるf(x) のグラフは右図のよう になるので,この範囲における最小値はf (0) となる。 (1) の結果と(i), (i)より, m=f(0) またはm=f(1) であ O ( 証明終) る。 [ab-a-b+1 (a+b≥1) (a+b<1) (3) (2)の結果より,m= (i)a+b≧1 のとき (a+b+1) 2 -- ab 8 ab となる。 m=ab-a-b+1=(a-1) b-a+1 ここで, αを固定してbを1-α≦b≦1の範囲で変化さ せたときのmの最大値をM(α) とすると, a-1≧0よ り, b=1-αのとき M (a) = (a-1) (1-α)-α+1=-α+α となる。 J'A O YA a a 1-a b b I 1 x b

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数学 高校生

(2)について、解答の右にある「もとの命題は真」とありますが、2乗って負の数になるんですか? 2乗が0以上になるのはよく見るので分かるのですが、0以下になるのはよく分かりません。 よろしくお願いします。

78 補充 例題 45 「すべて」と「ある」の命題の否定 次の命題の否定を述べよ。 また、その真偽を調べよ。 (1) すべての素数』について, は奇数である。 (2) ある実数 α, bについて (a+b)2≦0 CHART O SOLUTION 「すべて」 「ある」 を含む命題の否定 すべてとあるを入れ替えて、結論を否定・・・・・ すべてのxについて =あるxについて PU のとき 「すべてのxについてである」は真 P≠Ø のとき 「あるxについてである」は真 解答 (1) 否定:ある素数』については偶数である。 2 は素数であるから 真 ir pl (0) 15 図(2) 否定:すべての実数α, b について (a+b²0 開始で a=b=0 のとき, (a+b)2=0 となるから偽 INFORMATION 「すべて」「ある」の命題とその否定 1. すべてのx, ある x あるxについてp=すべてのxについてか また,全体集合を U,条件を満たすx全体の集合をPとすると,次のことが成 り立つ。 「すべてのxについて」を 0-01-S 「任意のxについて」, 「常に」 など, また 「あるxについて」を という表現で, それぞれ用いることがある。 2. 命題Aとその否定 A の真偽は逆転する。 00000 T A: 真→A: 偽, A: 偽→A: 真 基本39 JARAY TASSEL *** 「適当なxについて p」, 「少なくとも1つのxについてか」など (1) もとの命題は偽。 SEPA (2) もとの命題は真。

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