数Ⅲの問題です 全く歯が立たないので途中式も含め教えてほしいです！

1次の問いに答えよ。 3t - 1-3? (2) 2=-11+2i をみたすzについて、 tan(argz)を求めよ。 (3) (2)をみたすzのうち、実部と虚部がともに有理数であるものを求めよ。 (1) tanθ=t とすると、 tan30 となることを示せ。 ニ

この後の計算がどうしても合いません。 ここの部分の計算はガチ展開しかないのでしょうか？ 同一円周上で実数条件を数式化した後です。 数3です。

【発展例題 5)〈同一円周上にある条件) 21 = -3+3i, 22 =4+4i, zg=3+6i とする。複素数 平面上の点zは Z1, 22, 23 を通る円周上にあり,かつ, z の実部は0である。zを求めよ。 【解答) 図そ描く Rez=0 より,z¥ 22である。 21, 22,23 は互いに異なり, 同一直線上にはないので,こ の3点を通る円がただ一つある。 zが 21, 22 に対して, Z3 と同じ側にあるとき,円周角の 定理より, 21 arg- 22-2 21- 23 = arg 22- 23 21- 23 arg 22- 23 令 22-2 21-2 = 2nπ (ne Z) 22- 23 + arg 21- 23 21-2 2nT 令 22- 2 (21 - 2)(2 - 23) (2 - 2)(21- 23) |zが 21, 22 に対して, 23 と逆側にあるとき, 四角形 2122223 令 = 2nπ の内対角が補角をなすので, 21-2 22-2 22- 23 = T+ 2nπ + arg 21- 23 (ne Z) (21 - 2)(22 - 23) (22 -2)(21 - 23) 令 =T+ 2nπ 以上まとめて,zが 21, 22, 23を通る円周上にある条件は, (21- 2) (2-23) (22 - 2)(21- 23) (21-2)(2- 23)=(-2)(21- 23) (2-2) (21- Rez=0より、とERを用いて, z = ki とおける。 のに代1とて {-3+ (3-k)i}(1 - 2i) {4+ (4-k)i}(-6-3i) 令?- 7k = 0 ER (21-2 (22 23) 令 鮮を方のエ夫 {-3- (3-k)i}(1 + 2i) {4- (4-k)i}(-6+3) →k= 0.7 これより,z = 0, 7i となるが, このとき, Z1, 22, 23, 2 は互いに相異なり, 同一円周上にある。 よって, 求める z は, 2= 0,76 ……答 分性の確。 0でなか ー M

↓で割る2をする理由とこれが何を表してるかわかりやすく教えてください

ら 16 <10 から 2Sz+zS10 2Sz+ 4 ス十る ゆえに 15 S5 2 こ 0|11 2 /4 すなわち 1s(zの実部)<5 以上 [1], [2] から,点zの存在する範囲は, 右図の太線部分。 -4

数3　複素数と数列 (1)だけでいいので解き方を教えて下さい。 一般項を予想して、それを数学的帰納法で示す方法ではなくて、普通に(？)数列の一般項を求める方法でお願いします。

aをla|=1であるような複素数とし,複素数の列 {z }を a° 2」=1, 22= 2。 a° 2n-2 (n=3, 4, 5, ……) 2 2月-1 4 2月-1 で定める。ただし, 2月 は複素数 2。 の共役な複素数とする。 (1) 各n に対し,2。 を求めよ。 V3 (2) 2,の実部と虚部をそれぞれx ,, Yn とし,α=- iとおくとき,無限級数 2 2 の和 O 2x, 2 y。 k=1 k=1 をそれぞれ求めよ。 (大阪大 33 -() 1カ-1 5 解答(1) 2= 2 (2 *a(#+2(n-1) YA= k=1 k=1

この問題の(3)で、なぜz=x+yiと置くのでしょうか。 z1とz2が直線上の点なので、与式に代入すれば‪α‬とβの関係式を作れて、連立するだけかなと思ったのですが、考え方を教えて欲しいです。

複素平面上で、次の問に答えよ。 (4) 原点0から上の直線に下した垂線の足はz」る2となることを示せ、 (3) &を動点とするとき,(2)における 2点る,る2 を通る直線の方選まは の形に表される。ただしぇはzの共役複素数である。このとき a,Bを を中心として正の向きに Oe 23ーる」 --k (k lは実数) ア 22ーる」 (1) 3点 みが一直線上にあると あることを示せ、 2 (2) 点=ー(2+V3+i) を,点zo= だけ 6 4 回転して得られる点22。を求めよ。 Pかにおける&息えしえ念真る良奥の方規ま。 w 1 az+ Bz= 2 (3+V3) Ont mie 0 o 定めよ。 (旭川医科大·医) すなわ On re Gtonootman

解説の下線の直前の赤色の式が何故このような領域を取るのかがわかりません。

0, ②とも左辺, 右辺は0以上であるから, それぞれ 両辺を平方 した式と同値である。 重要 例題28 不等式を満たす点の存在範囲 (2) 複素数えが1z-1|slz-4|<2|z-1|を満たすとき, 点zが動く範囲をま 面上に図示せよ。 56 基本22 lz-1|<|z-4| 112-452|z-1| の である。 の 指針> |z-1|<|z-4|<2|z-1| → 平方した不等式を整理する方針で進める。 また,別解のように, z=x+yi (x, yは実数)として, x, yの不等式の表す領域として 考えてもよい。 数学IIで学んだ知識で解決できる。 解答 (a20, b20のとき asb→a<6° |z-1|s|z-4|S2|z-1|から |z-1fs|z-4<2"|z-1f (z-1)(-1)S(z-4)(z-4) のz-1fs|2-4Pから - 5 2 る+z 整理すると z+zS5 ata 2 はzの実部。 ゆえに 2 これは点 5 を通り,実軸に垂直な直線とその左側の部分を表 検討 については, P(z), A(1), B(4)とすると AP<BP |z-1|<|z-4 す。 のまた, |z-4P<4|z-1°から (z-4)(z-4)<4(z-1)(ミ-1)|よって, 点Pは2点A,Bを 整理すると 22w4 すなわち |2ド>2° 結ぶ線分の垂直二等分線およ びその左側の部分にある。 したがって |2|22 これは原点を中心とする半径2の円とそ の外部の領域を表す。 以上から,点zの動く範囲は 右図の斜 線部分 のようになる。 ただし,境界線を含む。 別解 z=x+yi (x, yは実数)とすると、 |2-1fslz-4fs21|z-1fから (x-1}+y°s(x-4}+y's4(x-1)'+y°} (x-1)°+y°s(x-4)+y?から x 0 P(z) の 0| A(1) B(4) X z-1=x-1+yi, 2-4=x-4+yi (x-4)+ys4(x-1)°+v?\ か 5 xS 2 よって 占 5_2 5_2 C

イの(2)なのですがsin72×nはどこにいったのですか？

-●51のn乗根 複素数aがa=1を満たしているとき,A=(1+a)(1+a°) (1+α*)(1+α°)の値を求めょ (東北学院大·文,教 (イ)複素数zはz=cos72°+isin72° とする。 (1)2"=1となる最小の自然数nはn= コである。 (2)2+z+z?+z+1=コ, cos 72°+cos144°= ケ コである。 (西南学院大·文 zガー1を因数分解すると, /4 2"=1を満たすa (=1のn乗根) 22 Z1 となるから,z"=1のときzキ1ならば, z"-1+z"-2+…+z+1=0 を満たす。 次に,ド·モアプブルの定理を用いて, z"=1を解いてみよう. z"=1により, |2|"=|2"|=1であるから,|z|=1であり, z=cosθ+isin0 (0S0<2x)と おける。ド·モアブルの定理により, z"を計算する。 z"=1のとき,cos n0+isinn0=1 * n0=2x×k (0<n0<2xXnにより, k=0, 1, 2, …, n-1) 23 0 24 25 : coS n0=1, sin n0=0 第=6の場合 0を求め,1のn乗根は, Z』=cos| 2元 ×k)+isin 2元 -× <k)(k=0, 1, 2, …, n-1) のn個。 n 点は,図のように点1を1つの頂点とする正ヵ角形のn個の頂点になっている. (aie)+an ■解答 (Snie) (ア) α'-1=0により,(α-1)(α^+α°+α'+a+1)=0 a=1のときA=24=16である. 以下, αキ1のときとする。 a=1のとき, α=α".α°=q°であるから, -① ■Aを(ひとまずはα'=1を使わ ず)展開すると, 1+a+a?+…+al5 ここでa==1を使うと e 01+a+a'+α°+a =(1+a+a°+α) (1+α°+α*+α?) (: α'=1 により α'=α") αキ1とのにより, 1+α+α*+α°+a*=0……② であるから, A=(-a')(-a) =α*=1 (イ) (1) z"=cos(72°×n)+isin(72°×n)… 0 であるから. z"=1 → 72°×nが360°の整数倍→ nが5の整数倍 よって,求める nは, n=5 (2) 2-1=0により, (z-1)(z*+z°+z?+z+1) =0 2キ1により,+z'+z'+z+1=0 これに①を代入する. 実部=0 である. 72°×5=360° に注意して、 cos(72°×4) +cos (72°×3)+cos (72°×2)+cos72°+1=0 . cos(-72°) +cos(-72°×2)+cos(72°×2)+cos72°+1=0 となるので,aキ1のとき②から A=1 Coot く) 0aidta) 21 72° |1=z0 23 : 2cos72°+2cos(72°×2)+1=0 は cos72°+cos144°= - 2 1 24 05 演習題(解答は p.66) (1) 複素数zが, z'=1, zキ1を満たすとき,(1-z)(1-z")=■ア], |イコ 1-2 1-z? (2)複素数zが, z5=1, zキ1 を満たすとき,(1-z)(11z")(1-z') (1-z')=Dウ」, 国 1 (東京理科大·理工) (2) 2-1が使えるよ うな2つをベアにする。 1- 1-2? 1-2 1-2 54

イの(2)なのですがsin72×nはどこにいったのですか？

-●51のn乗根 複素数aがa=1を満たしているとき,A=(1+a)(1+a°) (1+α*)(1+α°)の値を求めょ (東北学院大·文,教 (イ)複素数zはz=cos72°+isin72° とする。 (1)2"=1となる最小の自然数nはn= コである。 (2)2+z+z?+z+1=コ, cos 72°+cos144°= ケ コである。 (西南学院大·文 zガー1を因数分解すると, /4 2"=1を満たすa (=1のn乗根) 22 Z1 となるから,z"=1のときzキ1ならば, z"-1+z"-2+…+z+1=0 を満たす。 次に,ド·モアプブルの定理を用いて, z"=1を解いてみよう. z"=1により, |2|"=|2"|=1であるから,|z|=1であり, z=cosθ+isin0 (0S0<2x)と おける。ド·モアブルの定理により, z"を計算する。 z"=1のとき,cos n0+isinn0=1 * n0=2x×k (0<n0<2xXnにより, k=0, 1, 2, …, n-1) 23 0 24 25 : coS n0=1, sin n0=0 第=6の場合 0を求め,1のn乗根は, Z』=cos| 2元 ×k)+isin 2元 -× <k)(k=0, 1, 2, …, n-1) のn個。 n 点は,図のように点1を1つの頂点とする正ヵ角形のn個の頂点になっている. (aie)+an ■解答 (Snie) (ア) α'-1=0により,(α-1)(α^+α°+α'+a+1)=0 a=1のときA=24=16である. 以下, αキ1のときとする。 a=1のとき, α=α".α°=q°であるから, -① ■Aを(ひとまずはα'=1を使わ ず)展開すると, 1+a+a?+…+al5 ここでa==1を使うと e 01+a+a'+α°+a =(1+a+a°+α) (1+α°+α*+α?) (: α'=1 により α'=α") αキ1とのにより, 1+α+α*+α°+a*=0……② であるから, A=(-a')(-a) =α*=1 (イ) (1) z"=cos(72°×n)+isin(72°×n)… 0 であるから. z"=1 → 72°×nが360°の整数倍→ nが5の整数倍 よって,求める nは, n=5 (2) 2-1=0により, (z-1)(z*+z°+z?+z+1) =0 2キ1により,+z'+z'+z+1=0 これに①を代入する. 実部=0 である. 72°×5=360° に注意して、 cos(72°×4) +cos (72°×3)+cos (72°×2)+cos72°+1=0 . cos(-72°) +cos(-72°×2)+cos(72°×2)+cos72°+1=0 となるので,aキ1のとき②から A=1 Coot く) 0aidta) 21 72° |1=z0 23 : 2cos72°+2cos(72°×2)+1=0 は cos72°+cos144°= - 2 1 24 05 演習題(解答は p.66) (1) 複素数zが, z'=1, zキ1を満たすとき,(1-z)(1-z")=■ア], |イコ 1-2 1-z? (2)複素数zが, z5=1, zキ1 を満たすとき,(1-z)(11z")(1-z') (1-z')=Dウ」, 国 1 (東京理科大·理工) (2) 2-1が使えるよ うな2つをベアにする。 1- 1-2? 1-2 1-2 54

(1)で、なぜz=1とそれ以外に分けるのかがわかりません…。 お願いします！😭

実戦問題 4 nを自然数とし, 複素数 z=cosθ+isin0は z”=1 を満たすとして, 以下の 和 S., S2 の値を求めよ。ただし, ここでiは虚数単位 (=-1) である。 (1) Si=1+z+z?+… +zn-1 (2) S2=1+cos0+cos20+… +cos(n-1)0 [98 名古屋大] 5 2元 +isin n 2元 とおく。ただし, nは2以上の自然数であ 複素数zをz=cos n

これはどうやってときますか

B4| 4, bは実数の定数とする。 整式 P(x) =Dx°+ (a+3)x+bx-3a があり, P(1) %3D4 を満 たしている。 (1) bをaを用いて表せ。また,このとき P(-3) の値を求めよ。 (2) P(x) を因数分解せよ。 (3) 方程式 P(x) 3D0 が虚数解をもち,かつ, その虚数解の実部が整数であるとき, aの値 (配点 20) と虚数解をそれぞれ求めよ。