この回答がベストアンサーに選ばれました。

正解にはなりません。
q^3+7p^3=4pq^2において、右辺が4の倍数ならば、左辺もp^3もq^3も4の倍数になるとは限りません。

例えば3+5=8=2×4のように、4の倍数でない2数の和が4の倍数になることはあります。

ウンウントリウム

訂正、”左辺も”ではなく、”左辺の”でお願いします。

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回答

q^3+7p^3が4の倍数ならばq^3とp^3は4の倍数. これは偽です.
例えばq^3=3, p^3=7とするとq^3+7p^3=3+7*7=52=4*13で, qとpは互いに素です.
したがってこの部分について再考を求められます.

[訂正] qとpは整数なので上の反例はまずいです. そこで
q=3, p=7とするとq^3+7p^3=3^3+7*7^3=2428=4*612
に書きかえてください.
***
(q^3-p^3)+8p^3=(q-p)(q^2+qp+p^2)+8p^3と書くと, p, qの4で割った余りが同じなら4の倍数になることが分かります.

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