Question

ゆ

(|a|+|b|)^2-|a+b|^2の式で、

(|a|+|b|)^2の式は展開するとa^2+2|ab|+|b|^2
となり絶対値は外れないのに
|a+b|^2の式を展開するとa^2-2ab-b^2と絶対値が外れるのですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ウンウントリウム

外れます。
まず、質問の内容が少々違いますが、

(|a|+|b|)^2= a^2+2|ab|+b^2 です。
これは|a|^2=a^2(bも同様)が明らかであること、
そしてa,bの符号によって|ab|=abとは限らないからです。

また、|a+b|^2も(a+b)^2もどちらも正であり、値は同じです。よって、
|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2と展開できます。
絶対値記号を外しても符号に問題がないかを判断してください。

ゆ

回答ありがとうございます。質問の式の間違い、申し訳ないです。
質問なのですが、符号によってabとは限らないとありますが|ab|はなぜabとならないのですか？
例えばaの符号がマイナス、bの符号がプラスで絶対値の中がマイナスになったとしても、絶対値とは原点からの距離を表すものであり絶対値を外すとプラスになるのではないのですか？

ウンウントリウム

ごめんなさい、絶対値を外すとプラスになるというところがわからないです。中の符号がマイナスならばただ外しただけでは、符号が逆になってしまうと思うのですが、、、

場合分けをした上で、正しく外すということでしょうか？
例えばaとbが同符号の時と、異符号の時とで場合分けをして、同符号ならばそのまま外し、異符号なら外す際にマイナスを付けるということです。このようにすれば絶対値記号を使わなくても済みますが、証明においては絶対値記号が残ったままでも問題ないのであまり意味がありません。

もしかしたら、質問の意図をこちらが上手くくみ取れていないかもです。何か疑問に思ったら再度お願いします。

ゆ

私が聞きたかったことはそれです、汲み取っていただきありがとございます。
解決しました☺️