一番簡単なのは代入です
(1)x=1+iが2次方程式x^2+ax+b=0の解なので
(1+i)^2+a(1+i)+b=0⇔(a+b)+i(a+2)=0が成り立つ.
a+2≠0ならばi=-(a+b)/(a+2)となるが, -(a+b)/(a+2)は実数なので矛盾する.
[結果は知っているでしょうが, 確認のためにこの方法をとりました]
したがってa+2=0でこのときa+b=0. すなわちa=-2, b=2と定まる.
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"実(数)係数の"代数方程式の場合, x=p+qiが解ならば共役であるx=p-qiも解になります.
証明は方程式x^2+ax+b=0全体に共役をとればすぐ導けます.
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2次方程式x^2+ax+b=0は実係数の代数方程式である.
したがってx=1+iが解ならば共役なx=1-iも解であるといえる.
解と係数の関係からa=-{(1+i)+(1-i)}=-2, b=(1+i)(1-i)=2と求まる.
ありがとうございます。分かりました！
（2）も分かりますか？
解と係数の関係からα+β=-a, αβ=bであることが分かります.
-aとbを解とする2次方程式はx^2-(-a+b)x+(-a)b=0⇔x^2+(a-b)x-ab=0
これがx^2+bx+a=0と一致するから, "a≠0, b≠0の下で"両方程式の係数を比べて
b=a-b, a=-ab⇔a=2b, a(b+1)=0⇔a=-2, b=-1
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検算しましょう
x^2-2x-1=0⇔x=1±√2
したがってα+β=(1+√2)+(1-√2)=2, αβ=(1+√2)(1-√2)=-1
一方, x^2-x-2=0⇔(x-2)(x+1)=0⇔x=-1, 2
なので確かに条件を満たしています.
ありがとうございます。
よく分かりました！
[訂正] すみません. 以下のように修正してください.
*α=1+iが2次方程式x^2+ax+b=0の解なので
*"実(数)係数の"代数方程式の場合, p+qi[p, qは実数]が解ならば共役であるp-qiも解になります.
*したがってα=1+iが解ならば共役なβ=1-iも解であるといえる.