✨ ベストアンサー ✨
偶関数と奇関数の性質を利用する問題です.
多項式の場合は
x^nが偶数次の場合はf(x)=f(-x)を満たすので偶関数. このとき∫[-a, a]f(x)dx=2∫[0, a]f(x)dx=2a^(n+1)/(n+1).
x^nが奇数次の場合はf(x)=-f(-x)を満たすので奇関数. このとき∫[-a, a]f(x)dx=0
となります[分かりにくいときはf(x)=x, -1≦x≦1とf(x)=x^2, -1≦x≦1のグラフを書いて, それぞれの面積を考えるとよいでしょう].
***
f(a, b)=∫[-1, 1](x^2-ax-b)^2dx
=2∫[0, 1]{x^4+(a^2-2b)x^2+b^2}dx [奇関数の積分は0なのでバッサリ切る]
=2(1/5+(a^2-2b)/3+b^2)
=a^2+(b-1/3)^2+(2/5-2*(1/3)^2) [最小値を探すために平方完成する]
ここでf(a, b)を最小にするためにはa=0, b=1/3であればよく, そのときのf(a, b)=8/45である.
ありがとうございます！
もう一回解いてみます...!
[訂正]
=2a^2+2(b-1/3)^2+(2/5-2*(1/3)^2)
が正しいです. 修正してください.