Question

がっきー

途中まで解いたのですが、ここから先が分かりません。間違っているところや正しい解き方を教えてください。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

極座標表示で解く方が自然でしょう.
x=asinθ, 0≦θ≦π/2とするとy=acosθで表せる.
したがって曲線の長さは
∫[0->π/2]√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
=a∫[0->π/2]dθ=πa/2.
***
がっきーさんの方法だと
y=√(a^2-x^2)ならばdy/dx=(1/2)(a^2-x^2)^(-1/2)(-2x)=-x(a^2-x^2)^(-1/2)
0≦x≦aにおける曲線の長さsは
s=∫[0->a]√{1+(dy/dx)^2}dx
=∫[0->a]√[1+{x^2/(a^2-x^2)}]dx [Tetoさんの言う通りここが間違い]
=a∫[0->a]{1/√(a^2-x^2)}dx
ここでx=asinθと置換すると, 0->aは0->π/4に対応する. したがって
s=a∫[0->π/4]{(asinθ)'/(acosθ)}dθ=πa/4.
***
結局, 最後に極座標へ変換するので, この方法は遠回りなのも分かるでしょう.
ただ経験することも大事です.

LUX SIT

[訂正]
ここでx=asinθと置換すると, 0->aは0->π/2に対応する
s=a∫[0->π/2]{(asinθ)'/(acosθ)}dθ=πa/2.
に修正してください.

がっきー

詳しく書いてくださりありがとうございます。やってみます！