✨ ベストアンサー ✨
100から1までの積を100!(100の階乗)と書きます。高校では普通に使う記号なので100!で書くので、100ビックリと思わないでください。
一番ダメなのが100！を素直に計算して 0の数を数えることですね。日がくれますね。これ以外の方法で考えたいので、まずは「0がつく」ってどういうことなのかを考えてみます。
①6×5=30, ②15×8=120, ③125×4=500
これらはすべて0がそれぞれつくわけですが、なぜ0がつくのか。これを考える鍵は素因数分解にあります。
①(2×3)×5=60
②(3×5)×(2×2×2)=120
③(5×5×5)×(2×2)=500
経験的に10をかけたら0が1つ増えることはわかると思います。10とは素因数分解すると2×5のことです。この2と5のセットがあれば10倍になることができて、0が増やせます。
すなわちさっきの例を並び替えて[2×5]=10を作ると
①[2×5]×3=60
②[2×5]×2×2×3=120
③[2×5]×[2×5]×5=500となります。
③ではこの2と5のセットが2セット作れたので0が2つついたわけです。
とはいえ、100！をそのまんま素因数分解するのはかなり面倒になります。そこで着目するのが100から0までにいくつ5の倍数があるのかと2の倍数がいくつあるのかです。そして、この2の倍数と5の倍数の数からどのようにして10の数を数えればよいのかを考えます。
ここで、もう一回さっきの例に戻ると①[2×5]×3=60
②[2×5]×2×2×3=120
③[2×5]×[2×5]×5=500
②なんかは、2は3つあるものの5が1つしかないからペアが結局1つしか作れないため10は1つだけですし、③に関しても②なんかは、5は3つあるものの2が2つしかないからペアが結局2つしか作れないため10は2つだけです。すなわち、5と2はどちらかがたくさんあったとのろで意味がなく、その少ない方の数だけ10を作ることができるということです。
では、100！に素因数5と2はどちらが多いのでしょうか。100,95,90,85,...10,5が素因数5をもつもので、100,98,96,...,4,2が素因数2をもつものです。明らかに5の方が少ないことがわかります。ということは、素因数5の数を調べればいいということです。
※0のつく数=10で割りきれる回数です。
ex.)2400000は10で5回割れて、残った24はもう10で割れない
ありがとうございました！
ただ、少し質問なんですが
25,50,75,100は特殊なので除いて16個。
除いた4つは5を2個持っているので2×4=8個
よって16+8=24個です。
という部分は5の倍数全てで20個
2つ持ってるやつが4個
20＋4=24という考えでもいいですか？
大丈夫ですよ。1つのものと2つのものを分けて、2個もってるやつが4個ということを強調したかったのでそうしただけです。表のように、さらに1個ずつ加わると考えたら20+4になりますね。
ありがとうございました！
この感じからいけば、100,95,90...,5なので100÷5=20の感じがします。でも、実際はもっと多くなります。その理由は、これらは5の倍数、すなわち5×○(○は整数)なので、たしかに素因数5を少なくとも1つは持ち合わせていますが25=5×5のように2つ以上5を持っているやつもいるからです。そんなやつは特殊ケースなので、わけて考えます。
まずは少なくとも5が2回かけられた25の倍数(5×5×○)。100までには25,50,75,100がこいつに該当します。次に5が3回かけられた125の倍数ですが、こいつは100までにはいないので(100！は100から1までのかけ算なので0は含まれていない)考えません。これ以降も同様です。
よって5の倍数が100÷5で20個。
このうち、25,50,75,100は特殊なので除いて16個。
除いた4つは5を2個持っているので2×4=8個
よって16+8=24個です。
これより、素因数5は24個あることがわかり、素因数2はそれ以上あるので、作ることのできる10のペアは24個。よって10が24回かけられているので0も24個続くということです。
今回はこの24を計算で出しましたが、めんどくさいと思います。これを表でやるやり方もあります。
5 10 15 20 25... 100
1つめの5(5の倍数) ○ ○ ○ ○ ○ ○ →20個
2つめの5(25の倍数) ○ →4個
みたいな表を作るとすぐに数えられます。