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数2の知識を使えば楽に解くことができますが、おそらく数1の範囲だと思うので数1までの知識のみで解きます。
(1)CからABに下ろした垂線とABの交点をDとすると
AB=AD+DBとなるのでADとDBの長さを求めていきます。
三角形ACDにおいて、内角の和は180°ですから
∠ACD=45°となり、三角形ACDは直角二等辺三角形であることが分かります。
よって、AD =CD・・・①
また、∠BCD=∠ACB-∠ACD=75°-45°=30°ですから
三角形BCDは30°、60°、90°の三角形となります。
よってDB:BC:CD=1:2:√3ということを用いると
DB=1 CD=√3・・・②であることが分かります。
ここで①、②から、AD=√3
ゆえに、AB=AD+DB=√3+1」となります。
(2)正弦定理により解答の[ ]の上の式が成立します。
AB=√3+1、sin45°=1/√2を代入して整理すると、
sin75°=(√6+√2)/4」となります。
余弦定理により解答の[ ]の下の式が成立します。
三角形ACDは直角二等辺三角形ですから
CD:CA=1:√2 ゆえに、CA=√6となります。
よって、[ ]の下の式に
AB=√3+1、BC=2、CA=√6を代入して整理すると、
cos75°=(√6-√2)/4」となります。
分かりやすく教えていただきありがとうございました。⑵ですごく引っかかっていたので助かりました！