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nの2乗をn^2とします。
［6］「α<βのとき (x-α)(x-β)<0 ⇔ α<x<β」
これを用います。
x^2-ax-2a^2=(x+a)(x-2a)={x-(-a)}(x-2a)
《(x-α)(x-β)<0 の形にする》
よって、{x-(-a)}(x-2a)<0・・・①
(1)a>0のとき
-a<2a
よって、①から-a<x<2a」
(2)a<0のとき
2a<-a
よって、①から2a<x<-a」
［7］実数解を持つとき、判別式D≧0となります。
よって、第一式をの判別式をD1、第二式の判別式をD2とすると、
D1=(a+1)^2-4×1×a^2=-3a^2+2a+1=-(3a^2-2a-1)
=-(3a+1)(a-1)≧0
⇔(3a+1)(a-1)≦0 よって、-1/3≦x≦1・・・②
普通にD2も計算しても良いのですが、1次(x)の係数が偶数なので、計算が楽な(D2)/4を使います。
(D2)/4=a^2-1×2a =a^2-2a=a(a-2)≧0
よって、a≦0,2≦a・・・③
②、③の共通部分をとって、-1/3≦a≦0」
［8］「yの値が常に正となる」ということは
「この2次関数が常にx軸より上にある」
と同じことです。
ここで、2次(x^2)の係数が正であるから、
この2次関数は下に凸の放物線です。
よって、x軸と共有点(交点)を持たなければこの関数は常にx軸より上にあるので、x軸と共有点を持たない条件を求めればいいのです。
x軸と共有点を持たない条件は判別式D<0ですから、
判別式をDとするとD/4=(-a)^2-1×a=a(a-1)<0
よって、0<a<1」
判別式の代わりに(頂点のy座標)>0から求めることもできます。(やっていることは同じですが)
aは上の問題とは無関係です。
2次方程式ax^2+bx+c=0(a>0)を考えます。
1次(x)の係数bが偶数の場合b=2b'(b'は整数)と表すことができます。よって、判別式をDとすると
D=b^2-4ac=(2b')^2-4ac=4(b')^2-4ac
=4{(b')^2-ac}
よってD/4=(b')^2-ac (b'=b/2)となります。
自分は上の形で覚えていますが、
b'=b/2を代入した形 D/4=(b/2)^2-ac
で覚えるのもいいでしょう。
重要なのはbが偶数の時に使うと楽ということです。
bが偶数でない場合も使えますが、逆に大変になるので(具体的にはb'が整数にならないから)、bが偶数でない場合は普通にDを使いましょう。
少し補足ですが、bが 2×(文字)と表せるときもD/4を使うと楽です。
本当にありがとうございました🙇♂️
なぜD/4で計算できるのですか？