回答

a=1を確かめるのはx²の係数が0になる時、判別式は使えない(2次式にならない)から

平方完成する方法
f(x)=(a−1)x²−2(a−1)x+3
f(x)=(a−1)(x−1)²−a+4
とします。
f(x)≧0
が成り立つのは
(a−1)>0 ←x²の係数が正だと下に凸のグラフ
−a+4≧0←頂点のy座標=f(x)の最小値が0以上だとf(x)は常にf(x)≧0

a>1 a≦4

共通範囲 1<a≦4

あとは(1)と(2)のどちらかが成り立てばf(x)≧0となるので1≦a≦4

判別式というのはx軸との共有点を求めるために使うものです。
D>0で2解
D=0で重解
D<0で解なし
なので画像の右のようなグラフになります。

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