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求める自然数をx、xを11で割った時の商をa、13で割った時の商をbとします。
問題文より、x=11a+5=13b+6(…①)
よって、a,bは11a-13b=1を満たす。
後はこの方程式の解を求めます。
a,bは(a,b)=(-7,-6)を解に持つので（見つからなければ、ユークリッドの互除法を用いてください）、
11(a+7)=13(b+6)が成り立つ。
11と13は互いに素だから、kを整数として、
a=13k-7、b=11k-6。
これを①へ代入して、x=143k-72(…②)
これが4桁で最小になる時だから、仮にx=1000とおいて、②に代入すると、k=7.--になると思います。
よって、最小はk=8を代入したときの1072だと思います。
遅い時間にありがとうございます。説明がとても分かりやすかったです。理解出来ました！