極値を持つ
→f'(x)が符号変化していてxの前後で連続
・f'(x)が符号変化とは
例えば
f'(x)=x+1のときx=-1の前後で符号変化しています。
(x=-2ならf'(x)=-1、x=0ならf'(x)=1)
f'(x)=x²のときxがどんな値でもf'(x)は正なので符号変化していません。
つまりf'(x)=0になるxを探して、その前後で符号が変わってるか調べるということです。
・xの前後で連続とは
大雑把に言えばxの前後でグラフが滑らかになってるかどうかということです。
例えば
f(x)=|x|について
x≧0のときf(x)=x
x≦0のときf(x)=-x
なので、グラフはx=0のところがとんがっているので極値ではないとなります。
よって極値を持たない
→f'(x)が符号変化していない、又はxの前後で連続でない
ということになります。
例題など持ってきていただければ解説します。
その方が更にしっくりくるかもしれません。