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(解)
sin²θ+2acosθ+a-3＝0 (0≦θ<2π)
1-cos²θ+2acosθ+a-3＝0
cos²θ-2acosθ-a+2＝0⋯①
ここで、t=cosθ⋯② と置くと
⎧-1<t<1 のとき ②を満たすθは2個
⎨t=±1 のとき ②を満たすθは1個
⎩t<-1, 1<t のとき ②を満たすθは0個
であり、元の方程式は
t²-2at-a+2＝0⋯③
と表せる。よって①の解は0個以上4個以下
数Ⅲであれば他にやりようもあるかもしれないですが、数IIとなるとここからは地獄のような場合分けをすることになります
(i)①の解が4つとなるとき
③が-1<t<1の範囲に解を２つ持てばよいので
⎧a²-(-a+2)>0 ∴a<-2, 1<a
⎨-1<2a/2<1 ∴-1<a<1
⎨1-2a-a+2>0 ∴a<1
⎩1+2a-a+2>0 ∴a>-3
これらを満たす実数aは存在しない
(ii)①の解が3つとなるとき
③がt=1またはt=-1を解に持ち、もう一つの解を-1<t<1の範囲に持てばよい
t=1を解にもつとき
1-2a-a+2=0 ∴a=1
このとき③はt=1で重解になるので不適
t=-1を解にもつとき
1+2a-a+2=0 ∴a=-3
このとき③の解はt=-1, -5なので不適
(iii)①の解が2つになるとき
③が-1<t<1の範囲に重解を持つ、t=±1を解に持つ、-1<t<1の範囲とt<-1,1<tの範囲に解を一つずつ持つ、のいずれかであればよい
③が重解を持つとき
a²-(-a+2)=0 ∴a=-2, 1
a=-2 のとき、③の解はt=-2
a=1 のとき、③の解はt=1
よってどちらも適さない
(ii)の検討より、③がt=1とt=-1を同時に解に持つことはない
③が-1<t<1の範囲とt<-1,1<tの範囲に解を一つずつ持つとき
(1-2a-a+2)(1+2a-a+2)<0
∴a<-3, 1<a
以上より解が2つになるのは a<-3, 1<a のとき
(iv)①の解が1つになるとき
少なくとも t=1 または t=-1 を解に持つ必要がある
(ii)の検討より、条件を満たすのはa=1, -3のときであり、いずれの場合でも①の解は1つである
(v)①の解が0個となるとき
(i)~(iv)に当てはまらない場合なので、
-3<a<1
以上より、
⎧a<-3, 1<a のとき解は２つ
⎨a=-3, 1 のとき解は１つ
⎩-3<a<1 のとき解はない
本当にありがとうございます！！！
とても助かりました(>_<;)
いえいえ(｀・ω・´)
あまりにも面倒な場合分けと意外とシンプルな答えからしてもしかしたらもっと簡単な解き方があるのかもしれませんが、私にはこれしか思いつきませんでした