✨ ベストアンサー ✨
質問にただ返信をつけるより、段階を踏んだ方がより学習になると思うので、二つの診断をしますね！
Q1 「偶関数、奇関数」とは何かわかりますか？
Q2 「偶関数」である時使える可能性のある積分のテクニックは何か分かりますか？
Q3 写真①の積分テクニックを知っていますか？
以上３点を確認した上で返信をください！
書いていきますね！
３０分程お時間いただきます。
この問題の解説一行目から二行目への式変形は、単に以下の知識を用いているだけです。
積分と微分の関数の関係性をしっかり押さえた上でご覧ください！
今回、sinの６乗。つまり、f(x)=x⁶とg(x)=sinxの合成関数と、sinxと微積関係にあるcosxの積の形になっているので、以下の知識さえあれば発想は簡単に出てくるわけですね。
また、写真に書いた知識は丸暗記しなくていい…というか、してはいけません。
写真の①番を見てください。
Aを微分するとBが出てくると思います。
ならば、『Bを積分すればAが出てくるはず』ですよね？
（これが分からない場合、積分と微分の関係性を復習したほうがいいです！）
『Bを積分すればAが出てくるはず』を単に公式として載せているだけです！
なので、Bを見た瞬間に分数関数で「分子」が「分母を微分した関数」にならないかな…？と疑ってCのように変形できたら、後は微分した時に分母にx²+xが出てくるような関数ってなんだっけ？と逆算するとlogだ！つまり、積分した後の形はlogの関数だ！と分かるわけです！
この発想は数をこなさないと、初めのうちはややこしく感じて、物にできないので練習問題に６問どうぞ！
２枚目は解答です！
問題は後半に行くにつれ、難しくなっています。
また、（５）は重要なtanxの積分も学べるのでぜひ！
ご丁寧にありがとうございます！！
どうやら自分は最初の質問にあったQ3を知らなかったみたいです。。
けどラルゴさんのおかげで理解できました！
分かりやすかったです。
最後に、確認なのですが
ラルゴさんに教わる前に私は写真のように解いてたのですが、この解き方でも間違いではないですか？
偶関数の積分については以下の通りです！
偶関数とは何かを覚える。
偶関数のグラフの特徴から積分（面積計算）にどう活かせるかを見て学ぶ。
偶関数の知識をどのようなタイミングで気付き、実用するかを実践を通して学ぶ。
の3ステップです。こちらは、理解の早い方なら一度しっかり学べば、忘れることは無いと思います。
（僕は馬鹿だったので5、6回通りました汗）
以上です！僕も積分嫌いで、未だに難しい問題とかはミスしたりします汗
ただ、経験と知識が差になる単元なので、めげずに頑張ってください！
疑問点、おかしな点が有れば教えてください。
また、数学の講師をやってるわけでも、大学で数学を学んでる者でもない、一学生なので、誤りがあるかもしれません。その場合、気付いた方はそっと教えてくださいね。
もちろんいいと思います！
この積分方法は置換積分の手間が省けるというメリットがあります。
なので、もし、理解が難しいので有れば、しばらくは置換積分で乗り切るのも一つだと思います（僕もそうしてました）。
ただ、複雑な計算になると、この知識が無いと「時間」の面で苦労します。二次試験などでも多用される知識なので、これを機にマスターすることをオススメします！
Q1については、自分では理解できてるつもりですが、ぜひ教えて頂きたいです。
Q2、Q3については理解できてません。
お手数ですがよろしくお願いします。