Question

イモ

2問お願いします。最初の問題は考え方を教えていただきたいです。2問目の問題は解き方をお願いします。🤲

(ジン

無限等比級数で表された関数
M       アプ(*)ーsin *cos*十sin?zcos*二Sin5 cos*二……
について, ッニア(*) のグラフをかけ。

  賠

ソイーーーブで
の図のような直角三角形 ABC の直角の頂点 A から,
順に。 垂線 AA AA。 A。A。 …… を下るすとき,
IACAA」, へCA」A。 へCA2A。        の面積の総和が
へABC の面積を引えないためには。 /Cの大きさはど
んな範囲になければならないか

   
    

  
                                                                                                                                                                                                                                                                    

  
  

 

 

 との差が,

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

toriniku

1問目：
これは初項がsinxcosx、公比sin^2 xの無限等比級数です。
初項と公比が分かっている時、無限等比級数の和を求める公式があったと思います。
その式に初項と公比を代入して整理するとグラフが書けます。

2問目：
まず三角形A1ACに着目すると、これはもとの三角形ABCと相似の関係にあります（2つの角の大きさが等しい）。
したがって、三角形ABCの面積を1とすると、三角形A1ACの面積はcos^2 Cと書けることが分かります。
つづいて、三角形A2A1Cに着目すると、これは三角形A1ACと相似の関係にあり、したがってもとの三角形ABCとも相似の関係にあります。
三角形A2A1Cの面積はcos^4 Cとなります。
これを帰納的に続けていくと、三角形CAA1、CA1A2、CA2A3…の面積の総和は、
cos^2 C + cos^4 C + cos^6 C + …
という初項cos^2 C、公比cos^2 Cの無限等比級数の和として表すことができます。いま0＜C＜90°より0＜cosC＜1であるから、この無限等比級数は収束して、
cos^2 C / (1 - cos^2 C) = 1 / tan^2 C
となります。これがもとの三角形ABCの面積1を超えないので、
1 / tan^2 C ≦ 1
です。いま0 < tanCなので1 ≦ tan^2 Cであり、さらに1 ≦ tanCです。このような不等式を満たすためのCの条件は、π/4 ≦ C < π/2となります。

イモ

すいません、どうやって面積をcosで表すのか教えていただけませんか？

イモ

理解できました！教えていただきありがとうございます！