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5乗くらいならパスカルの三角形を書いた方がはやいかもしれませんが、問題の意図に沿い、二項定理を用いて展開します。(xだと×と紛らわしいので便宜上xをaにします。)
工夫せずストレートに展開して答えを出すと
(a^3-a)^5
= 5C0 × (a^3)^5 × (-a)^0 ①
+5C1 × (a^3)^4 × (-a)^1 ②
+5C2 × (a^3)^3 × (-a)^2 ③
+5C3 × (a^3)^2 × (-a)^3 ④
+5C4 × (a^3)^1 × (-a)^4 ⑤
+5C5 × (a^3)^0 × (-a)^4 ⑥
となります。
＊
①ではaの3×5+0=15乗
②ではaの3×4+1=13乗
③ではaの3×3+2=11乗
④ではaの3×2+3=9乗
⑤ではaの3×1+4=7乗
⑥ではaの3×0+5=5乗
＊
が出てきます。
したがって、④のときの係数は5C3と(-a)^3からできる-1をかけた-10です。
もうちょっと簡単にするなら予め、(x^3-x)^5=x^5×(x^2-x)^5にしておくのもありです。
しかし、毎回このように展開していてはもっと数が大きくなると困ります。そこで、工夫します。
要は5つのうちpだけ(a^3)を選んできて、qだけ(-a)を選んでくることを考えれば
p+q=5(展開式の次数の和は常に5、①~⑥を見れば明らか)
3p+q=9(＊の計算をやっている)
の連立方程式がたてられます。
これを解けばp=2,q=3であり、考えないといけないのは④だけであることがわかります。
細かく教えていただきありがとうございます！