✨ ベストアンサー ✨
本来ならば、一の位が一致するためには、
n^(p+4)-n^pは10の倍数になるので、
10で割った時のものを考えないといけないのですが、
nはすでに2の倍数であることは分かっていますので、
5の倍数であることだけを考えれば、
10の倍数であることも調べることができるということです。
例えば14と24は一の位が一致します。
このとき、24-14＝10となり、10の倍数になります。
もっと数が大きくなって、
123456と1000006のような数であっても
一の位が一致するのなら、差は10の倍数になります。
n^(p+4)-n^pは2で割り切れることを(2)の最初の方で証明しています。
n^(p+4)-n^pの一の位が一致することは
n^(p+4)-n^pを10で割った余りが一致することの言い換えです。
10=2×5で2と5は互いに素なので
2で割り切った余りは一致することはすでにn^(p+4)-n^pが2で割り切れることで証明できたので、
5で割り切った余りが一致することを証明すればn^(p+4)-n^pの10で割った余りが一致することを証明できます。
10でやった場合は、数学的に正しいですが計算量が増えます。
2でやった場合は、証明しても5で割り切った余りはよくわからないので証明できません。
最初に2で割り切れるかどうかよくわからない場合は、最初から10でやってもいいかもしれません。
n^(p+4)-n^pの一の位が一致することは
n^(p+4)-n^pを10で割った余りが一致することの言い換えです。
これはそうだ、と暗記した方がいいのでしょうか？
日常で使う数は10進法といって, たとえば2498という数は,2000+400+90+8=2×10³+4×10²+9×10+8というふうに十を基準として位が上がっていきます。こうして、一つの位に使う数字は0,1,2,3,4,5,6,7,8,9の10種類に限定できるのです
十の位以上(2000,400,90)は2×10³, 4×10², 9×10 というふうに10が掛かっているので10で割り切れますが、一の位だけはそのままなので10で割った余りは一の位の数字になります。これは、n進法を学べば結構自然に分かると思います。たしか数A（同じ分野？）なので、やってみるのも面白いと思います！
同様にして, 2498を100で割れば98, 1000で割れば498というふうに下何桁かというのも10の倍数で割れば分かります。この性質は、暗記しなくてもいいと思います。
数学の問題で百の位、千の位～ という感じになったら、10の倍数は関係してきやすいです。なので、そういう単語が出てきたら10を少しでも連想するとうまい解法が出来るかもしれません
（訂正）３行目
同様にして, 2498を100で割れば98, 1000で割れば498というふうに下何桁かというのも10の倍数で割れば分かります。
↓
同様にして, 2498を100で割れば98, 1000で割れば498というふうに下何桁かというのも10の累乗数で割れば分かります。
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本来ならば、一の位が一致するためには、
n^(p+4)-n^pは10の倍数になるので、とありますがなぜ10の倍数になると分かるのでしょうか？？すみません、お願いします。