✨ ベストアンサー ✨
・最小値は2ではないか
いいえ。最小値はaが何になるかで変わってきます。
aが0〜2のときの最小値はaに依存します。
その最小値たちの中の最小値は2ですが、
今それを聞いているのではありません。
現に、a=1/2のときの最小値は2ではありません。
ここで求める最小値はaを使って書くしかありません。
・なぜaは0を含んではいけないのか
問題文にa>0と書いていませんか？
aは定数（1や1/2や2の代わりにa）ですから、
aの値は解答者側が決められるものではありません。
だから、a=1のときに勝手に限定できません。
出題者が与えたaという動かない何かに対する
yの値を聞いています。
何度も言いますが、あなたの言う2というのは、
「最小値」ではなく、「最小値の最小値」です。
「0≦x≦aにおける最小値mの、
0<a≦1における最小値」だったらその答です。
ちなみに場合分けはある程度自由ですから、この場合
0<a≦1と1<aと分けてもいいですが、
0<a<1と1≦aと分けても、
0<a≦1と1≦aと分けてもいいので、
そこは好きにしてください。
理解力がなくてすみません。
「0≦x≦aにおける最小値mの、
0<a≦1における最小値」だったらその答です。
というのなら黒枠で囲った部分は
「0≦x≦aにおける最小値mの、
0<a≦1における最小値」とはみれないと言うことなんでしょうか？
私の表現が足りなかったようです。
「0≦x≦aにおける最小値mの
0<a≦1における最小値」
というのは、
「xを変数とみなしたときの最小値mは
aを使って表されるが、
このmをaの関数とみなして（aを変数とみなして）
最小値を求める」
という意図で言いました。
その例が図のような問題。
冒頭の問題は、図の問題のm(a)を求めるまでで
打ち切ったような問題なのです。
もう一度考えてみましょう。
y=(x-1)^2+2 (0≦x≦a)の最小値mは、
定数aの値によって変わる。
（aが変化するのではなく、決まっている。
決まってはいるが、解答者にはわからない。
わからないから、aがいくつなのかによって
場合分けして答える）
たとえば、具体的には、
a=0.1のときはx=0.1で（つまりx=aで）最小。
a=0.5のときはx=0.5で（つまりx=aで）最小。
a=1のときはx=1で（つまりx=aで）最小。
a=1.5のときはx=1で最小。
a=2のときはx=1で最小。
……のようになる。
これをきちんと書くと
0<a≦1のときはx=aで最小。（最小値a^2-2a+3）
1<aのときはx=1で最小。（最小値2）
ここまででいいのです。
ここまでがここで求められていること。
あなたのしていることは、さらにaを勝手に動かし、
最小値a^2-2a+3の最小値はa=1のとき、
としてしまっていること。
aはここでは動かない。動かせない。
aは（わからないけど）決まった数（定数）だから。
これがすべて。
上で私が出した写真では、m(a)となっています。
定数だったaを、今度は変数として
見ることにします。そうしたら最小値は何か？
と聞いています。
これは冒頭の問題とはまた別の問題。
1日あけてもう一回考えてHSさんの回答を読ませてもらい理解できました！何度もありがとうございました！
先にaは正の定数とすると書いてありました。
そこは見落としてたみたいです...。
最小値は2ではないか
これはちょっとまだ分かんないです。
0≦x≦aにおいて、aの範囲が0<a<1と書かれたら分かるのですが、0<a≦1と書かれてるとa=1のとき最小値はx=1の時2だから、0<a≦1のときの最小値は2じゃないか！って思っちゃうんですけど...違うんですかね。。
問題も載せておきます。