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3項間漸化式の鉄則です
(1) 特性方程式 px²+qx+r=0 を解く
また、この解をα、βとすると、元の式は
a[n+2] - α•a[n+1] = β(a[n+1] - α•a[n])
a[n+2] - β•a[n+1] = α(a[n+1] - β•a[n])
にそれぞれ変形でき、代入して2式を作る
a[n+1] - α•a[n] と a[n+1] - β•a[n] は共に等比数列なので
この一般項をそれぞれ求める
求めた2式からa[n+1]を消去するとa[n]の式になる
(2) 特性方程式 x²=x+1 を解くと x=1±√5/2
よって、与式は
a[n+2] - (1-√5/2)•a[n+1] = (1+√5/2)(a[n+1] - (1-√5/2)•a[n])
a[n+2] - (1+√5/2)•a[n+1] = (1-√5/2)(a[n+1] -(1+√5/2)•a[n])
数列 a[n+1] - (1-√5/2)•a[n] は初項 1+√5/2 、公比1+√5/2より a[n+1] - (1-√5/2)•a[n] = (1+√5/2)ⁿ
また、a[n+1] - (1+√5/2)•a[n] は初項 1-√5/2 、公比1-√5/2より a[n+1] - (1+√5/2)•a[n] = (1-√5/2)ⁿ
辺々引くと
√5•a[n] = (1+√5/2)ⁿ - (1-√5/2)ⁿ
↔︎ a[n] = 1/√5• {(1+√5/2)ⁿ - (1-√5/2)ⁿ}
因みにこのような数列をフィボナッチ数列といいます