Question

ゲスト

（1）漸化式
pa_(n+2) + qa_(n+1) + ra_n = 0
の解法を考察せよ

(2) a_1 = a_2 = 1, および, 漸化式,
a_(n+2) = a_(n+1) + a_n
により定義される数列の一般項を求めよ。

大至急教えてください！明日の午前中までには理解したいです！

数列 漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

3項間漸化式の鉄則です

(1) 特性方程式 px²+qx+r=0 を解く
また、この解をα、βとすると、元の式は
a[n+2] - α•a[n+1] = β(a[n+1] - α•a[n])
a[n+2] - β•a[n+1] = α(a[n+1] - β•a[n])
にそれぞれ変形でき、代入して2式を作る

a[n+1] - α•a[n] と a[n+1] - β•a[n] は共に等比数列なので
この一般項をそれぞれ求める
求めた2式からa[n+1]を消去するとa[n]の式になる

(2) 特性方程式 x²=x+1 を解くと x=1±√5/2
よって、与式は
a[n+2] - (1-√5/2)•a[n+1] = (1+√5/2)(a[n+1] - (1-√5/2)•a[n])
a[n+2] - (1+√5/2)•a[n+1] = (1-√5/2)(a[n+1] -(1+√5/2)•a[n])

数列 a[n+1] - (1-√5/2)•a[n] は初項 1+√5/2 、公比1+√5/2より a[n+1] - (1-√5/2)•a[n] = (1+√5/2)ⁿ
また、a[n+1] - (1+√5/2)•a[n] は初項 1-√5/2 、公比1-√5/2より a[n+1] - (1+√5/2)•a[n] = (1-√5/2)ⁿ
辺々引くと
√5•a[n] = (1+√5/2)ⁿ - (1-√5/2)ⁿ
↔︎ a[n] = 1/√5• {(1+√5/2)ⁿ - (1-√5/2)ⁿ}

因みにこのような数列をフィボナッチ数列といいます