この問題は難しいですがかなり良問ですね^_^
いかに方程式の解に持っていける発想に至れるか？がポイント。
解説すると
まずは一番を利用したいから字数下げ、倍角の公式を用いましょ。ここまでは難しくないです。
ここからです。いま、シータ 2π/7としてあげるとzの式で表わされますね。多分ここらへんからてが止まるかと。
ここでよく考えると7シータ =2πとしてやるとcosは1になって、zに関する方程式が得られることがわかります。
じゃあ、4π/7 6π/7も同様の操作をしてあげるとなんとおんなじ方程式が得られるはず。
これからわかるのは、これら3解はこのzの方程式の解だなと。 さらに因数分解し、zは1ならシータは0になり
なにも情報が得られない。つまりzのもう一つの式にあの3解は満たされているとわかります。
しかしここから、手が止まるかもしれない。いや、一番をよく見たらzの逆数との和を作ればいいかもと考え着きたいところ。すると任意のシータでzのしきはcosの式に変換できるのに気付くんだね。そしてシータを2π/7とすればうまく値が出る。 終了
まだまだ数学が悩む人は多分cos2π/7を直接出そうと考えたのでは？で、は？なんだよそれ習ってねえwwてなったかも^_^
出せないならば和のまんまで何か式を作れないかと切り替えてほしいかな！
東京慈恵会医大とかでもたまにでてます