✨ ベストアンサー ✨
念のため定義から振り替えってみましょう。「a^3=24という方程式を解く」ということは、「a^3=24を成り立たせるaを全て求める」ということです。
24=2×2×2×3ですから、とりあえずa=2×3^(1/3) 〔2かける、3の3乗根〕がa^3=24を成り立たせる値のひとつであることがわかります。
では2×3^(1/3)以外にa^3=24を成り立たせるもの、言い換えれば他の解は存在するのでしょうか。
a^3=24を因数分解の形に変形させます。a^3-b^3の因数分解をする訳です。すると、
{ a-2×3^(1/3) } { a^2+2×3^(1/3)×a+(2×3^(1/3))^2 }=0
となり、a-2×3^(1/3)かa^2+2×3^(1/3)×a+(2×3^(1/3))^2のどっちかが0になる訳ですが、後者は判別式を調べることで解を持たない(虚数解は持ちます)ことになります。
以上より、教科書ではかなり省略していますがようやく3次方程式a^3=24を解くことができるのです。
質問の観点は非常にいいです。数学を勉強する上では、こうした教科書にかかれていない背景、正攻解法を追い求める姿勢、遠回りをしてみるなどの、皆がやっていないような努力が他の教科と比べ特にものをいってきます。
これからも是非細かいことにツッコミをいれて勉強をすることをおすすめします。
大丈夫です！