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証明するには前提となる公理系が要請されていなければならない．
1+1=2 は自然数の範囲で示せばいいと思うので，ここではペアノの公理系を採用する．
公理1 自然数 0 （先頭元）が存在する．
公理2 任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する．
公理3 0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）．
公理4 異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる．
公理5 0 がある性質を満たし，a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき，すべての自然数はその性質を満たす．（数学的帰納法）
定義 suc(0)=1, suc(1)=suc(suc(0))=2, suc(2)=suc(suc(suc(0)))=3 などと略記する．
定義 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f を定義する．
この関数は，これから示すが自然数の和の法則を満たし，f(b) は a に b を加えた和 a+b を表すことがわかるので，f(b)=a+b と略記できる．
定理1 f(0)=a （つまり f(0) の略記 a+0 に対して，a+0=a となるから 0 は和の右単位元である．）
証明 f(suc(x))=suc(f(x)) で x=0 を代入して f(suc(0))=suc(f(0))，suc(0)=1で左辺を置き換えて，f(1)=suc(f(0))．
f(1)=suc(a) で左辺を置き換えると，suc(a)=suc(f(0))．
公理4の対偶をとって，a=f(0) がいえる．
定理2 g(1)=suc(0)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，g(a)=a．
（つまり g(a) の略記 0+a に対して，0+a=a となるから 0 は和の左単位元である．）
証明 a に関する数学的帰納法．
g(suc(x))=suc(g(x)) で x=0 を代入すると g(suc(0))=suc(g(0))，g(1)=suc(g(0))，suc(0)=suc(g(0))，公理4の対偶で 0=g(0)である．
x=a のとき，g(a)=a とすると，g(suc(x))=suc(g(x)) で x=a とすると，g(suc(a))=suc(g(a))=suc(a) より x=suc(a) でも成り立つ．
ゆえにすべての自然数 a で g(a)=a といえる．
定理3 0 は和の単位元である．（つまり a+0=0+a=a）
証明 定理1,2 より明らか．
定理4 f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f と，g(1)=suc(b)，g(suc(x))=suc(g(x)) を満たす関数 g を定義すると，f(b)=g(a)．（つまり f(b)=a+b，g(a)=b+a に対して和の交換律 a+b=b+a が成り立つ．）
証明 a, b に関する数学的帰納法．
a=0 について，定理1,2 より成り立つ．
a で成り立つと仮定する．
b=0 なら定理 1,2 より成り立つ．
f(b)=g(a) と仮定．f(suc(b))=suc(f(b))=suc(g(a))=f(suc(a)) より f(suc(b))=f(suc(a)) でも成り立つ．
よって，すべての a, b について成り立つ．
よって，交換律が成り立つ．
よって，f(1)=suc(a)，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f は自然数の和の性質を満たしている．
具体的に f がどんな関数か書いてみる．たとえば a=5 なら，
f(1)=suc(5)=6，f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f は
f(2)=f(suc(1))=suc(f(1))=suc(6)=7，これが 5+2=7 を表す．
f(3)=f(suc(2))=suc(f(2))=suc(7)=8，これが 5+3=8 を表す．
定理5 1+1=2 である．
証明 f(1)=suc(1), f(suc(x))=suc(f(x)) を満たす関数 f について，
f(1)=suc(1)=suc(suc(0))．つまりf(1)=suc(suc(0))．
f(1) は 1+1 の略記であり，suc(suc(0)) は 2 の略記であるから，1+1=2
頭が良いですね！！
わかってすっきりしました！
では、バナナはおやつに入りますか？
これまた都合よく考えてしまい申し訳ないのですが、
遠足前の学生にその質問をされたとして
論証A
［前提1］おやつとは昼食と夜食の間に食べるものである
［前提2］遠足においてはおやつの時間は昼食と夜食の間に設けられる
［結論］遠足という条件下でバナナはおやつに入る
［論証への反論］
「おやつの時間が午後の昼食から夜食の時間に設けられること」と「バナナがものとしてのおやつの外延として定義されるか否か」という問題の関連性の不十分さ。
つまり、これではバナナはおやつの時間帯にしか食べることができないためにおやつであるという独断論に陥ってしまう。バナナは午前中にも食べることは可能である。
また、一般的に遠足の中でおやつとされる菓子類も、午前に食べた場合はおやつではないのかという問題。
ここで、菓子の定義を確認する。広辞苑によると「常食のほかに食する嗜好品。昔は多く果実であったが、今は多く米・小麦の粉、餅などに砂糖・餡（アン）などを加え、種々の形に作ったものをいう。和菓子と洋菓子とに大別。これに対して果実を水菓子という。」
とされ、大辞林では「通常の食事以外に食べる嗜好品。砂糖・水あめ・餡(あん)などを加えた甘いものが多い。古くは果実・草の実をいった。今も果物を水菓子という。」とされている。バナナは果物であり、菓子とも呼べることがわかる。ここで問題なのは、バナナは常食としても食される場合があるということである。しかし、遠足においては、弁当を昼食として持参することが原則であるため、今回の議題には影響はない。
次は遠足のおやつに主に食べられる菓子の外延という視点から推論していく。
論証B
［前提1］遠足のおやつでは菓子が食べられる
［前提2］バナナは果実である
［結論］バナナはおやつである
結論として、論証A・Bにより、遠足において、菓子という視点からはバナナはおやつに入るが、それは午後だけの話であることがわかった。午前中の間食はおやつということはできず、この場合に食するバナナはおやつには入らない。
素晴らしい説明ありがとうございます！
ちなみにゲームなにやってますか？
ごめんなさい、1+1=2と勝手にしてしまいました。