Question

莉子

（a＋b）^nで基本式を表してることは分かったのですが、
a＝1、b＝Xとおくところと
1＋X＝3、1＋X＝0になるようにXにおくところがわかりません。なぜそのようにするのか詳しく解説お願いします！

山P.12*
 敵13 次の等式が成り立つことを示せ。
37 =ニ』Co填2・4Ci土22・4Cz二・…十27・4C4
(2 0=     ぇCCトぁCa一・* の十(一1)7*』

 
  

 

  

(考え)         昌(g十の"= Coの"十。Cigの"5二・・十4C4がの において, gニ1
りーニィとおき, 1キャー3, 1キヶニー0 となるようなャヶを代入する。
-項定理より (1+*)" ー。Co寺』Cz二4Cz9二Ca ①
) ①に, ヶ=2を代入すると
32 = 』Co十2・4C十22・。Cs二…・圭927・4C』
(2) ① に, *=ニー1を代入すると
0 = Coオーオキ(ー17・』C

人@$

Answer 1

黒龍

二項定理を使いたいから3を二項に分けるとして、aはnC0の係数(a^n)に出てくるからa=1になる。
同じく考えるならnCnの係数がb^nだからb=2てすぐわかるけど、

3を二項にわけて一つが1であるという情報からわざわざxをつかって1+x=3という式をたてて、そこからx=2(b=2)を求めた。

という感じかと( *・ω・)ノ

冗長で分かりにくい解答ですね(￣▽￣;)

莉子

すいません、私の理解力が無さすぎて理解できませんでした……ほんとに申し訳ないです。

黒龍

(1)
a=1とおくのは証明すべき式(3^2=...)の右辺を見てa=1と分かったからです。

二項定理を使うためには3^nを(a+b)^nの形にする必要があります。つまり、a+b=3となるようなa,bの値を求める必要があります。

さて、先に触れた右辺を見ると、これは二項定理の右辺そのままです。従って第一項を比較すればa^n=1すなわちa=1がでます。

aがわかればbはa+b=3から求まります(1+b=3)。別にbでもxでも構いません。
解答の途中で出てきた1+x=3はこれです。

なぜそのようにするのか

そうすれば上述の手順と二項定理で問題の証明が可能になるからです。

黒龍

(2)
(1)と同じです。

莉子

遅くなってしまってすみません！詳しく説明して頂いてありがとうございます！やっと理解できました😭