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とりあえず、方針をたてます。
垂直二等分線の交点が外心です。垂直というのはベクトルでは内積0として扱えるのでこの条件は使えそうです。OAとOBとABの3つの辺の垂直二等分線の交点なのでどこを選んでもいいですが、単純にゴールがOAベクトルとOBベクトルで表せと言われているので、二等分をOAベクトル,OBベクトルの1/2倍として扱えそうな、OAとOBの垂直二等分線の交点だと考えていきます。OAとOBの中点をM,Nとします。
あとは、OHベクトルをsaベクトル+tbベクトルと置き、OMとMHの内積0、ONとNHの内積0と考えて、始点をOにあわせると、必然的にOAとOBの内積が必要となるので、l OB-OA l の2乗をしてやればできます。
わからなかったらいってください。
2直線の交点といわれたらsa+tbで置いて係数比較が多いと思います。3点が1直線上といわれたら、係数和が1を使いますね。重心、内心、垂心、外心のベクトルはそれぞれできた方がいいと思います。ちなみに、外心と重心と垂心は1直線上にあり、重心により2:1に内分されます。(オイラー線という)これも証明できた方がいいと思います。
ちなみに、この問題は正射影ベクトルの考え方を使うとけっこう計算少なくできます。
正射影ベクトルとは…？
この凄さが伝わるとうれしいです...
性質ウがうまく使えるような問題はあるにはありますが、難しいと思います。性質イに関しては覚えなくてもすぐ導けることなので、使える機会があれば使ってみてください。
外心の証明では、性質イのみを使ってます。(垂心では性質ウを使うと簡単になる)
今回の問題では、ベクトルの内積0を使おうというところから始めましたが、これが計算けっこうめんどくさいんです。内積0は無条件に垂直ならば使えるから使いましたが、要するにsとtで係数比較できればなんでもOKなんです。だから、正射影ベクトルの知識を使えば、一瞬でAOとAMの内積とAOとANの内積が求められてあとは展開して代入して係数比較するだけで終わりなので瞬殺です。(aベクトルとbベクトルの内積が必要でこれが案外面倒ですが、これは正射影使わなくてもどうせやらないといけない計算なので同じです)
訂正
AOとAMの内積とAOとANの内積
→OHとOMの内積とOHとONの内積
なんかすごいですね…！
こんなに細かく、本当にありがとうございます👏🏻
OHをsa+tbでおけばいいんですか！
それの前まではできたので…
ありがとうございます！やってみます✌︎