Question

ふゆ

１３の(2)の解き方を教えてください。

次の不等式を証明せよ. ただし, 4, 5, cは正の数とする.
(1) 7Z2十の6く7Z十75く272十

昌 1  1  軸  16  1
エエォエニエュエキュっ   LN
か

相加相乗平均 不等式 不等式の証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

相加・相乗平均の関係:
2つの正数の相加(算術)平均は相乗(幾何)平均以上である.
a>0, b>0なる実数があって, 不等式(a+b)/2≧√abが成り立つ. 等号成立はa=b
***
相加・相乗平均の関係は左辺が2項, 右辺が1項あります.
問題の不等式は左辺が3項, 右辺が3項なので直接適用することは出来ません(おそらくここで詰まったのでしょう).
そこで右辺がbc, ca, abと対称であることに気がつけば
1/2(1/a+1/a)+1/2(1/b+1/b)+1/2(1/c+1/c)
と分けてみて
1/2(1/b+1/c)+1/2(1/c+1/a)+1/2(1/a+1/b)
と並び替えることで上手く適用することが出来ます.
***
a>0, b>0, c>0ならば1/a>0, 1/b>0, 1/c>0である.
このとき相加・相乗平均の関係から
(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/2(1/b+1/c)+1/2(1/c+1/a)+1/2(1/a+1/b)
≧(1/√bc)+(1/√ca)+(1/√(ab)) [等号成立はb=cかつc=aかつa=b, すなわちa=b=c]
がいえ, 与えられた不等式は示された.

ふゆ

とてもわかりやすい説明ありがとうございます✨✨詰まってしまった場所まさにそのとおりです💦💦
ありがとうございました🔆