解き方教えてください！

数学

高校生

5年弱前

かのん

解き方教えてください！

回間昌間 ]0Z を実数の定数とする。陳物線サニィ2 cx十と直線 yニメ+ 1 の共有点の尼数人 0 「 ' (のRMO介めなめはよ。 0

(0 < ヵの関数アニ8724zー6y+2 の最小慎を求めよ。 (②⑳ ゃヵの関数の=ィ*2ー6xy寺10メー2z二2y2 の最小値を求めよ。なお, (①⑪), ②⑳ では最小値をとるときの*, の値も示せ。

二次関数

回答

LUX SIT

5年弱前

まず１枚目の画像のほうから
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(1)y=x^2+ax+aとy=x+1が共有点の個数を調べるために2次方程式x^2+ax+a=x+1⇔x^2+(a-1)x+(a-1)=0を考えます.
ここで共有点はy=x+1上にあるので2次方程式の解が一つあれば(x,y)が一組あることに注意します[問題によってはそうではない場合があります.例えば円ですね.].
2次方程式x^2+(a-1)x+(a-1)=0の判別式をDとするとD>0ならば共有点が2個, D=0ならば共有点が1個, D<0ならば共有点は0個である.
D=(a-1)^2-4(a-1)=(a-1)(a-1-4)=(a-1)(a-5)だからa<1, 5<aのとき共有点が2個, a=1,5のとき共有点が1個, 1<a<5のとき共有点が0個である.
(2)k=0のとき, 1次方程式で実数解を1個持つ[この場合分けを忘れがちです. まずは方程式の次数を確認しよう.].
k≠0のとき, 2次方程式で判別式D/4=1^2-4*k*(-3)=12k+1なので
D/4>0⇔-1/12<k<0, 0<kのとき実数解が2個, D/4=0⇔k=-1/12のとき実数解が1個, D/4<0のときk<-1/12のとき実数解が0個.
以上をまとめてk<-1/12のとき, 実数解が0個, k=-1/12, 0のとき, 実数解が1個, -1/12<k<0, 0<kのとき, 実数解が2個である.
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次に2枚目のほうです.　
2変数あるので1変数をとりあえず固定. 残りの変数の関数と見て最小値を探っていきます.
2次式の最大・最小問題なので平方完成した形が意味を持ちます.
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(1)平方完成するとP=(x+2)^2+3(y-1)^2-5.
(x+2)^2≧0, (y-1)^2≧0なのでP≧-5[最小値]である. 最小値を与えるx,　yはx=-2, y=1.
(2)xについての関数と見ると
P=x^2-2(3y+1)x+10y^2+2y+2
={x-(3y+1)}^2-(3y+1)^2+10y^2+2y+2 [平方完成]
=(x-3y-1)^2+y^2-4y+1
=(x-3y-1)^2+(y-2)^2-3 [yについて平方完成]
ここで(x-3y-1)^2≧0, (y-2)^2≧0なのでP≧-3[最小値]である.　最小値を与えるx,　yはx-3y-1=0かつy-2=0なのでx=7, y=2.
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違ったテーマの問題なので分けて投稿したほうが回答はつきやすかったでしょう.　次回は気をつけてくださいね.