Question

ゆうた

相加・相乗平均の不等式について質問です。(2つ)
チャートには
a＞0,b＞0のときa+b/2≧√abで等号はa＝bのとき成り立つと書いてあったのですが自分で調べてみるとa≧0,b≧0つまり0のときも成り立つとありました。
確かにa,b=0でも成り立つなと思ったのですがこれは何が違うのですか？
それと最小値の問題の時にこの相加・相乗平均の不等式を使うのは分かったのですが、なぜこれを使うのかが分かりません。例えば、√の不等式なら二乗する理由は二乗－二乗の形にして≧0になれば証明できるみたいな感じで教えて頂くと嬉しいです。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

黒龍

二個めの質問の方から答えます。

相加相乗平均は逆数の関係にある二数で使うと最小値が未知数を含まない値で求まるという利点があります。

例 xと1/x、2nと8/n、e^aと1/e^aなど

だから最小値問題に相加相乗平均を使います。
(これ以外に使い道があるかも知れませんが私は知りません)

これを踏まえて一つ目の質問に答えます。

逆数で使う方法なので、逆数がない0では相加相乗を使えません(そもそも0が答えになるようなものは簡単に解けると思います)

だから高校数学では実質正の実数にしか使わないよね、てことでa>=0ではなくa>0で紹介されるのでしょうね(※個人の感想です)。

ゆうた

そういう利点があったのですか！勉強になります。
=0を付けないのもすごい説得力があります！納得出来ました。