Question

ちき

数学得意な方お願いします🥺
(1)はどうしてx＞0なのか、(2)はどうしてx^2≧で0よりx^2＋√2≧√2になるのとxの個数の調べ方がかわかりません。

因

    
  

 

 

の6
|

1) を定数とする。 その方程式 ギドー2"+5or+6=0 が筐なる

 

 

(                               2

もっようなの値の介団を求めよ。              ーー
の を守迷とする。 の方式 (ot+ 72がー2lcg( 二8
。                                 =0ow

数解の個数を求めや。

盾> 半当な おき換え により. 2次方程式の問題に症

男 と 求める条件が変わる ことに注意が必要。

() が=!とおくと, ァ>0<つ7ン1であるから, 正の解をる:
実数解をもつ条件に変わる。

(の 信数の調べ方は. か225 重要例題144 と同じで. グラフを利用する。 ただし       (|

10g:(Ge二2 )=7 とおいたときのェと の対応に注意。           K       『

                                                                                                                                                          

つ条作が, 1より大きい2っの

 

ie

(]) 5共から 。 429一16・2"+5g二6=0
=7 とおくと, 方程式は 。 4どー167十5g+6=0 …… ①

 

+>0 のとき7>1 であるから, 求める条件は2次方程式①
が7>1 の範囲に異なる 2 つの実数解をもつことである。
すなわち, ① の左辺を /(/) とし, ① の判別式を とすると
還 の>0 [2] 軸>1 [3] 7⑪>0
国生にが46g+6)=ー20g+40>0 …… ⑧     のか5 z<2 の

e
2 直は直線?=2で, 輸>1 の条件は満たされる。     2がRT

回 70-se-6>0 …… の                         oyiaeRA | |

の⑥. のか6 すき<o<z

5
(9 jog(c*+ 72)ニ …… ① とおくと。 方程式は= どー2r+o=0
きま0よりx+72 を/2 であるから log:(デTV2)=logy2                    5
いたがって なすう…の                  ァ          !
① を潜たすの個数は=-テ のときァニ0の1 個
(>のとき >0 であるから 2 個。

な スラ ーど27王7であるから, ② の範囲にお
 放物線ターーだ2/ と直線 y=g の共有点の 座標に
意して, 方和式の実数解の個数を調べると。

。1のとき0個:g=1、g<えのとき>個sg=すのとき3
の

Answer 1

タングリスニル

⑴xが正の解になる時
と問題で書いてあるため。

⑵実数の二乗は必ず0以上になりますよね。
その事を言っています。

x^2≧0 両辺√2を足して
x^2+√2≧√2

もう一つの疑問について
今解いている方程式は
t^2-2t+a=0です。

これの解の個数は
①判別式を用いる→二次関数で有効
か
②a=-2t^2+2tと見て
関数y= -2t^2+2t と
関数y=a
のグラフを実際に書いてみて求める
→高次関数や複雑な関数で有効

という方法を取っていたと思います。

ここでは、tが全ての実数を取りうるわけではないので、判別式を使ってしまったら、定義域外も考えてしまうことになるので、少し面倒になるから②の解法を取っているわけです。

タングリスニル

⑵の続き
ここで、-2t^2+2t=a (t≦1/2)
のtの解の個数の求め方は大丈夫ですか？

それがわかれば、後はtをxの式に戻すとどうなるかを考えるだけです。

ちき

その個数の求め方がlogだとわからないです。

タングリスニル

一旦logは忘れて
tについての二次関数として見ても
個数は分かりませんか？

すると
3/4≦a<1の時、tの解の個数2個
a=1、a<3/4の時、tの解の個数1個
a>1の時、tの解の個数0個
となりますよね。

これを求めた後に、xに戻すとどうなるかを考えましょう。

log_[2] (x^2+√2)=t
→2^t=x^2+√2
→x^2=2^t-√2
→x=±√(2^t-√2)
これは2^t-√2=0のとき、
つまり、t=1/2のとき、
x=±0となるためxの解は一つ
2^t-√2>0のとき、
つまり、t>1/2のとき、
xの解は正と負の二つ
ある事がわかりますね。

これを踏まえた上で、
a=3/4の時だけt=1/2も解になるが(xの解に変換するとこの時だけxの解の個数は1つ)
それ以外で、解を持つときはt>1/2となっているはずです。(つまりxの解の個数は交点1箇所につき２つ)

ちき

すいませんここからがいまいちよくわからないです!二次関数グラフ2つ考えるんですか?
図で説明してくれるとありがたいです🙇‍♀️

これは2^t-√2=0のとき、
つまり、t=1/2のとき、
x=±0となるためxの解は一つ
2^t-√2>0のとき、
つまり、t>1/2のとき、
xの解は正と負の二つ
ある事がわかりますね。

これを踏まえた上で、
a=3/4の時だけt=1/2も解になるが(xの解に変換するとこの時だけxの解の個数は1つ)
それ以外で、解を持つときはt>1/2となっているはずです。(つまりxの解の個数は交点1箇所につき２つ)

タングリスニル

まず、
x=±√(2^t-√2)
と、xの解をtを使って表せましたよね。

私が言っているのは
「ルートの中が何かしら正の数になっているなら、xは２つの解をもち、ルートの中が0ならxは1つの解をもつ」
ということです。

このグラフで、
t=1/2のところ(青い点)とy = aが交わる時だけxは
一個解をもち
それ以外で交わるところ(緑の線)とy = aが交わるところはxは二個解をもつということですね。

ちき

なるほど!でもどうしてt=1/2とt＞1/2の場合なのでしょうか？

タングリスニル

x=±√(2^t-√2)を解いているからとしか言いようがありません。

まず、xが実数解をもつためには、
x=±√(2^t-√2)の右辺のルートの中身2^t-√2が正でなければならないのは分かりますか？

これで、2^t-√2が正になるためには
t≧1/2じゃなければいけませんよね。

だからt≧1/2の範囲で考えているのです。

タングリスニル

それで、なぜt=1/2とt>1/2で分けたのかといいますと

x=±√(2^t-√2)において
t=1/2ならばx=±0となるため、解は一個
t>1/2ならばx=±√(正の数)となるため、解は二個

というように個数が変わってしまうからです。

ちき

わかった気がします。もう一度やってみます!