「a>0 かつ b>0」⇔「a+b>0 かつ ab>0」を前提とすると、以下のように証明できます。
a>k かつ b>k
⇔ a−k >0 かつ b−k >0
⇔ (a−k)+(b−k) >0 かつ (a−k)(b−k) >0
⇔ a+b >2k かつ (a−k)(b−k) >0
よって、p⇔q
同値の記号 ⇔ を用いて適切に変形していけば、p⇒q
と q⇒p の両方を同時に示せたことになるので、証明がより簡潔になります。
上で自明とした同値変形の式は、たとえば解と係数の関係に関する問題などで利用できることもありますので、知っておくと今後役に立つと思います。
やや長文で説明してしまいました。間違ってたらすみません。
大丈夫です！ありがとうございます！