Question

まぐろ

式の変形がわかりません。
場合分け1の
二行目から三行目にかけてです。
お願いします。

に計

(ム,A /のFo姓表

切れ=ん2<キ                /国 か*へ2
sae人          2 みみ
=ゴが0-2eoりの:寺cospy9人人
= 過陸=と2 入
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/ののガー coなスリーープうみでムムテ(

As エクラッの

定積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

LUX SIT

さすがに解答は略しすぎな気がします. 何をやっているのかというと
***
m=nのときsin(mx)sin(nx)=sin(mx)sin(mx)[m=nなので置き換え可能]=sin^2(mx)
倍角公式cos(2x)=2cos^2(x)-1=2(1-sin^2(x))-1=1-2sin^2(x)⇔sin^2(x)={1-cos(2x)}/2を思い出しましょう.
これよりsin^2(mx)={1-cos(2mx)}/2[xをmxに置き換えた]
***
m=nのとき
∫[0->π]sin(mx)sin(nx)dx
=∫[0->π]sin^2(mx)dx
=∫[0->π]{1-cos(2x)}/2 dx
=(1/2)∫[0->π]{1-cos(2x)}dx
=(1/2)[x - sin(2x)/2]|[0->π]
=(1/2){(π-0)-(0-0)/2}
=π/2
***
と書けば, 誰が読んでも[これは大事なことなんですよ]納得できると思います.

LUX SIT

解答部分は下のように書き換えて読んでください.
***
m=nのとき
∫[0->π]sin(mx)sin(nx)dx
=∫[0->π]sin^2(mx)dx
=∫[0->π]{1-cos(2mx)}/2 dx
=(1/2)∫[0->π]{1-cos(2mx)}dx
=(1/2)[x - sin(2mx)/2m]|[0->π]
=(1/2){(π-0)-(0-0)/2m}
=π/2
***
改めてまぐろさんが書き写した(?)解答を読むと, sinとcos, 2乗と2倍が混同してたり奇妙ですね.

まぐろ

なるほどですねぇ。途中で倍角の公式使うのは知っていたのですが、そこからどうするのっていうのが疑問だったのでスッキリしました！
また何かあったらお願いします！

まぐろ

こんなにも丁寧にありがとうございました！