部分積分です
∫{f(x)·g(x)}dx
=f(x)·G(x)-∫{f'(x)G(x)}dx
↑(そのまま)·(積分)-∫(微分)·(そのまま) dx
※G(x)=∫g(x)dx
また、微分する方の優先順位としてlog𝓍の次に𝓍です。(部分積分は基本的に掛け算の形で表せなくなったら終わり。つまりxの次数を下げるか約分し合って打ち消すか)
〜解法手順〜
∫(x²+2x)sin3x dx
=(x²+2x)·{-(cos3x)/3}-∫(x²+2x)'·{-(cos3x)/3} dx
↑ (そのまま)·(積分)-∫(微分)·(そのまま) dx
=-〔{(x²+2x)·(cos3x)}/3〕+(1/3)·∫(2x+2)·(cos3x) dx
↑今度は∫の中を先と同じように部分積分する
=-〔{(x²+2x)·(cos3x)}/3〕+(1/3)·〔(2x+2)·{(sin3x)/3}
-∫(2x+2)'{(sin3x)/3} dx〕
↑∫の中を少し整理する
=-〔{(x²+2x)·(cos3x)}/3〕+(1/3)〔{(2x+2)·(sin3x)/3}
-(2/3)·∫(sin3x) dx〕
↑∫の中を部分積分する(これで最後)
= -〔{(x²+2x)·(cos3x)}/3〕+(1/3)〔{(2x+2)·(sin3x)/3}
-(2/3)·{-(cos3x)/3}〕+C
↑積分する過程を終えたので積分定数Cを加えておく
= -〔{(x²+2x)·(cos3x)}/3〕+{2·(x+1)·(sin3x)/9}
+{2(cos3x)/27}+C
↑(1/3)を分配法則で〔 〕の中に掛ける
=-〔{(9x²+18x)·(cos3x)}/27〕+{2·(x+1)·(sin3x)/9}
+{2(cos3x)/27}+C
↑通分して計算する
=-{(9x²+18x-2)·(cos3x)}/27〕+{2·(x+1)·(sin3x)/9}+C
打ち込みなのでわかりづらいところがあるかと思いますが、わからないところがありましたら再度質問お願いします
ところどころ後半のところに𝒹𝓍を書き忘れています。ご了承ください。
ありがとうございます！そんな公式あるんですね！覚えておきます！
ありがとうございます。この解き方は、式がどのような時に、使えるのか…そこを部分積分、置換積分をふまえて教えてもらえるとありがたいです