Question

ゲスト

この問題を詳しく教えてください

1 11 すべての自然数んについて, が2 は 3 の倍数である。このこと数

学的帰納法を用いて証明せよ。

Answer 1

みあ

［証］n^3+2nは3の倍数…①とする
Ⅰ) n=1のとき、n^3+2n=3なので命題は成立。

Ⅱ)n=kのとき、命題は成立すると仮定すると、
k^3+2kは3の倍数…②
n=k+1のとき、
(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+5k+3
=(k^3+2k)+3(k^2+k+1)
②より、 (k+1)^3+2(k+1)は3の倍数である。
すなわち、n=k+1で①は成立。

Ⅰ) Ⅱ)より、全ての自然数nについてn^3+2nは3の倍数である。［終］

帰納法には基本的な流れがあります。
❶nに適当な数を代入し、成立を言う
❷nにkを代入して式を立てる
❸nにk+1を代入して成立まで持っていく

❸ではほとんど必ず❷の式を用いて成立に持ち込みます。この問題では❷で出てきた「k^3+2kは3の倍数」ということを❸で使っていますね。
意識しておくと良いですよ(*´꒳`*)

Answer 2

ねけう

(1)n=1のとき、n^3+2n=3 なので成立
(2)n=kのとき成立すると仮定します
n=k+1のとき、
(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2
=k^3+3

ねけう

間違えて途中で投稿してしまいました
(k+1)^3+2(k+1)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2
=k^3+2k+3(k^2+k+1)
なので、3の倍数になります
数学的帰納法より全ての自然数に対し成立します