(3)の文は天気が悪かった(特定の)週の話をしており、さらに1週間天気が悪かったと言う情報は二人がこの会話をする前から二人の中で既存の情報でした。会話する人たちがすでに何を指しているかわかっている場合にもtheは使われることが多く、今回もそれに当たると思われます。
回答
どうも!ひろしまいけるです!
単にaというだけでも~のようなという意味も存在するので、調べてみるのもおすすめです!
この場合
(1)のaは期間を表しています。
a week ・・・一週間 七日間
(2)のtheはその週はという意味ですね!
期間の意味で使うときは、aをつかいます!
疑問は解決しましたか?
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ひろしまいけるさんの回答で申し分ないのですが、根本的な説明を加えれおきます。
a/anとtheの根本的な違いは、a/an ~が不特定のものの1つなのに対し、the ~は特定のものを指します。わかりやすい例で言うと、"a president"と"the president"の違いです。presidentには大統領という意味と、社長という意味がありますが、大統領の場合はほとんどの場合theを使い、社長の場合は「この会社の~」とか「弊社の~」という意味を持たせる場合にはtheを使い、そうでなければaを使います。大統領の場合も、沢山の大統領の中の1人という場合にはaでも問題ありません。
例
He's a president of a company./彼は会社の社長だ。
He's the president./彼はうちの社長だ。/彼は我々の大統領だ。
Donald Trump is the President of the United States. /ドナルド・トランプはアメリカ合衆国大統領だ。
Barack Obama was a President./バラク・オバマは元大統領だ。(元大統領は沢山いるのでaでも成り立ちます)
分かりにくいかもしれませんが、英語圏の人はaとtheを効果的に使います。例えば"I'm just a guy passing by."と言ったら、「ただの通りすがった者です」のような感じで、偶然そこに居合わせただけだということを強調しています。逆に"I'm the man!"といえば「あんたが探してるのは俺だよ!」みたいなニュアンスで、相手に自分を高圧的に売りこんだり、挑発したりという場面で、映画とかでもよく出てくるフレーズです。
問題に戻ります。ひろしまいけるさんはa weekの場合は期間を表していて、the weekはその週だと説明しましたが、どちらも7日という期間には変わりありません。違いはa~の場合どこの7日間という特定がないのに対して、the~の場合は特定した7日だということです。それを日本語の概念に置き換えると、a weekは期間、the weekは先週とか今週とか、話題に上がっている週のことになるというわけです。
aとtheの根本的な違いが分かれば応用も効くと思うので書きました