Question

三毛猫@ノゲラ好き

e^x(x^2+ax)=∫[0→x] tf(t)dt+∫[x→1] f(t)dtがつねに成り立つとき、f(x)と定数aを求めよ

Xで微分してやっていましたが、おかしなことになりました
どなたか教えてください！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

xで微分したらきちんと答えが出るはずですよ

f(x)は連続関数とします
e^x(x²+ax)＝∫[0→x]tf(t)dt+∫[x→1]f(t)dt
＝∫[0→x]tf(t)dt-∫[1→x]f(t)dt
両辺xで微分して
e^x(x²+(a+2)x+a)＝xf(x)-f(x)
＝(x-1)f(x)
x=1のとき等式が成り立つには
e(1+a+2+a)＝0
a＝-3/2
でなければならない。このとき、
(x-1)f(x)＝e^x(x²+(1/2)x-(3/2))
＝(1/2)e^x(x-1)(2x+3)
よって、
f(x)＝(1/2)e^x(2x+3) (x≠1のとき)
f(x)は連続関数なので、x=1のときも上の等式が成り立つ必要がある。したがって、
f(x)=(1/2)e^x(2x+3)

三毛猫@ノゲラ好き

とてもわかりやすい解答をありがとうございます😊😊
助かりました！