Question

文系

数学的帰納法についての質問です。
写真1枚目が問題、2枚目が解説となっています。
解説内の不等号（黒丸のところ）がなぜ成立するのか
わかりません。
成立するとしても元の不等式から
逆向きになるのではないか、と考えています。
解説お願いします🙏

習次
練習
ここか3"+1>3n+2 ...... (*)
が成り立つことを, 数学的帰納法で示せ.
((1)
帰納法の(II)の部分では,「n=kのときに成り立つ」という
330 第7章数列
練習問題 11
すべての自然数nで

(I) n=1のときに(*) が成り立つことを示す.
左辺 =31+1= 9, 右辺 = 3・1+2=5
より, 左辺> 右辺 なので,示せた.
(II) n=k のとき, (*) が成り立つと仮定する. すなわち
3 +13 +2 ...... ①
このとき,(*)でn=k+1とおいた式
.....1
成り立つとしてよい式 仮定
3k+2>3(k+1) +2 ......
②
:
②示すべき式 結論
が成り立つことを示す.
なんで
ここで①の
②左辺 (②の右辺) =3k+2-3(k+1)-2
=3.3k+1-3(k+1)-2
このままだと
計算できない
を示せる?
仮定を使う
3.(3k+2)-3(k+1)-2 ① の仮定を使うと
=6k+1>0 (≧1 より) 計算ができる形に
よって, ②が成り立つことが示せた.
(I),(II)より, すべての自然数nで(*)は成り立つ.
コメント

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

🍇こつぶ🐡

①式を使う。
①を代入しても、同じ－(3k＋1)－2を引く(k＞0)から、不等号の向きは変わらない🙇

文系

すみません、加えて質問させて頂きます
もし写真のような不等号がつくならば、
＞（3k＋1）−2−3（3K＋2）
になりませんか？

🍇こつぶ🐡

前だけ①を使い、後ろのk+1は変えていない。

①を前半部分だけ使う。後ろは、同じ－(3k＋1)－2のまま引く🙇

🍇こつぶ🐡

①は成り立つ訳だから、その部分だけ取り換えて、後ろは、いじらずそのまま引く🙇

文系

ありがとうございました！
理解できました！