Question

はすね

数Ⅱの係数を求める問題で、赤いマーカーのところでどうして足すのかわかりません。足す理由を教えていただきたいです。よろしくお願いします🙏

✓ 20 次の式の展開式における, [ ]内に指定された項の係数を求めよ。
(1) (x²-x+2)^
[x5]
(2) (1+2x-x2) 20
[x³]

-1512
20 (1) 展開式の一般項は
4! (x2)(x)2'=
4!
p!g!r!
-(-1)9.2x²+a
p!g!r!
ただし
p+gtr=4, p≧0, g≧0, r≧0
xの項は2p+g=5のときで 20,920 であ
るから
p = 0, 1, 2
よって, 2p+g= 5 と p+g+ r = 4 を満たす負で
ない整数,, rの組は
(p, q, r)=(1, 3, 0), (2, 1, 1)
したがって, 求める係数は
4!
1!3!0!
(−1)3.2°+
(2)展開式の一般項は
4!
(−1)'2'=-28
2!1!1!
10!
・1^(2x)^(-x2)=
10!
p!g!r!
p!q!r!
・2(-1)'x 9+2r
ただし
p+q+r=10, p≥0, q≥0, r≥0
x3の項は g+2r=3のときで, g≧0,120 であ
r=0, 1
るから
よって, g+2r=3とp+g+r= 10 を満たす負で
ない整数 p, q, rの組は
(p, q, r)=(7, 3, 0), (8, 1, 1)
したがって, 求める係数は
10!
10 !
・2°(-1)+
2−1)'=780
7!3!0!
8!1!1!

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あほでごめんなさい

x^5が出てくる計算が2回登場するからです

はすね

回答ありがとうございます🙏
二通りの当てはめ方？があるのは分かるのですがこれは両方一緒に起こることなのですか？（p,q,r）=（1,3,0）と（2,1,1）はそれぞれ別々で同じ係数があるわけではない理由がわからないです。
理解力が乏しくてすみません。

あほでごめんなさい

例えば(x^2+x+1)^2のx^2の係数を求めるとすると

①xが二乗されたパターン
②x^2×1があるパターン←(a+b+c)^2の展開をする

この二つが同時に起こっています

係数が異なることについては先ほど送った内容の通り
x^5ができるパターンは2通りありますが、それぞれの計算過程が違うのでそもそも係数が一緒になるということは計算するまでわからないです。

二乗する回数だったり、かける数などが異なるので係数が同じと断定するのは危険です

はすね

お答えいただきありがとうございます🙏
それぞれで係数が違う場合があるため足して良い塩梅にしよう的な捉え方で合っているでしょうか…？

あほでごめんなさい

そうですね。この手の問題で求める項が2回出てくる場合、それぞれの係数が同じということはほぼないと思います。

はすね

なんとなく掴めました！理解不足で時間をかけてしまいすみません！詳しくお答えいただき助かりました！ありがとうございます🙏