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設長寬為 x, y
xy = n²
當 x>y 有 17 組正整數解
當 x<y 有 17 組正整數解
當 x=y 有 1 組正整數解
所以 xy = n² 總共有 35 組正整數解
也就是 n² 的正因數個數
設 n = 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ × ⋯
則 n² = 2²ᵃ × 3²ᵇ × 5²ᶜ × 7²ᵈ × ⋯
正因數個數 (2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)⋯ = 35
35 = 5×7
把 5 跟 7 放在越前面可以讓 n 越小
所以可以讓 c = d = ⋯ = 0
只要考慮 (a, b) = (2, 3) 或 (3, 2)
(2, 3) ⇒ n = 2²×3³ = 108
(3, 2) ⇒ n = 2³×3² = 72
最小值為 72
因為要看正因數個數
比方說 60 = 2² × 3 × 5
它的因數的每個質因數都不能比 60 還多
所以只能是 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ
( 0 ≤ a ≤ 2 , 0 ≤ b ≤ 1 , 0 ≤ c ≤ 1 )
所以 a 有 3 種選擇、b 有 2 種、c 有 2 種
就是 3 × 2 × 2 = 12 個正因數
謝謝你!!!!
想請問一下為什麼要設n=2ª×3ᵇ…
還有為什麼(2a+1)(2b+1)… =35
謝謝!