Question

星光

次の問題で青い線のところをどの様に考えて出しているのでしょうか？
あとこの問題で相乗平均あたりからの思考プロセスがよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

題 147
2直線のなす角の最大 最小
★★★
軸上の2つの点, A(0, 2), B(0, 8) とx軸上の点P(a, 0) (a>0)につ
いて考える。 ∠APBを最大とするαの値を求めよ。
( 自治医科大)
∠APBを△APB の内角とみると, 余弦定理により
Ay
8 B
(a²+4)+(a²+64)-36
cose =
← 複雑で考えにくい
24√ a²+4√√a²+64
見方を変える
AP, BP を直線とみると
∠APB= (2直線AP, BP のなす角)
《ReAction 2直線のなす角は, tan0 の加法定理を利用せよ
例題146)
直線AP, BP がx軸の正の向きと
なす角をそれぞれα, β とすると
y
8B
tana -
2
a'
8
tan β
a
よって
tan∠APB =tan(α- B)
=
tana-tanβ
1 + tanatan β
A
2
B
a
0
<B<a<πより
2
0<ZAPB</
加法定理を用いる。
2 8
+
6
a
a
a
6
1+(-1/2)(
8
16
16
1+
a+
a
a
ここで,α>0であるから, 相加平均と相乗平均の関係より
16
<a>0, >0
a
16
16
a+ ≧2人 a.. = 8
これより
a
a
1
6
ゆえに
tan∠APB =
16
68
=
3-4
S
16
8
a+
a
a+
a
16
これは, α= すなわち 16 より, α = 4のとき等
>0より
a=4
a
|号成立。
0 <∠APB< 今より,∠APBが最大となるのは tan∠APB
が最大となるときである。
40の大小とtanの大小
が一致する範囲は限られ
ることに注意する。
したがって, 求める αの値は a=4