Question

理

数学の数学的帰納法の問題です。
写真2枚目の9行目の「ここがポイント」と書いてある部分の計算の意味が全く分かりません…。
何が理由でここでこの計算をして正であることを示したのかが分かりません！
この計算をすることで何が分かるのかと、この計算がやっていることの意味を教えて頂けませんか？？🙇‍♂️

216
第7章 数
列
基礎問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき, 次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ、
1
(1) 12+22 +…+n=
n n(n+1)(2n+1)......①
1 1
1
2n
(2) 1+
+・・・+
+
M
.....(2)
2 3
n n+1
|精講
手順は 137 と同じですが,n=kのときの式から, n=k+1のとき
の式を作り上げるときに,どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
解答
(1) i) n=1のとき
左辺 = 1, 右辺 = 1/10・1・2・3=1
6
よって, n=1のとき,①は成立する.
ii) n=kのとき
12+22+..+k=k(k+1)(2k+1) ①、
6
が成立すると仮定する.
左辺 = 12+22++k+(k+1)
右辺 = 1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
んでくくった
=1/1/(k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
①の両辺に (+1)2を加えて
左辺に,
12+2+...
+k²+(k+1)^
を作ることを考える
そのまま使えてるとはとる
=1/21 (k+1)(k+2)(2k+3)
6
これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである.
よって ① は n = k +1 でも成立する.
i), ii)より, ① はすべての自然数nについて成立する.

217
(2) i) n=1のとき
左辺 = 1, 右辺=
2.1
1+1
=1 となり, n=1のとき②は成立する.
+1/+1/
...
in=k のとき, ② が成立すると仮定すると
1
+ -M.
2k
kk+1
.. ②'
1
②' の両辺に
k+1
を加えると
左辺を証明したい式
左辺 =1+1/+1/3+
1
1
にする
・+
+
2
k
k+1
2k
1
右辺 =
+
=
ここで,
(4)
k+1 k+1
2(k+1)
2k+1
k+1
k
2k+1
k+1
.. 1+
=
k+2
->0
(k+1)(k+2)
<ここがポイント
+1/+
1
2k+12(k+1)
+・・・+
-≥
>
k+1 k+1
k+2
すなわち,
2(k+1)
1+1/+1=2+2
これは,② に n=k+1 を代入したものである.
よって, n=k+1 でも②は成立する.
i), ii) より すべての自然数nについて ② は成立する.

Answer 1

きらうる

帰納法なので、n=k+1の時も成り立つことを示したいのですよね。

＜ここがポイント　の
2(k+1)/(k+2)は、②'の右辺2k/(k+1)のkをk+1に変えた式です。

②'の両辺に1/(k+1)を加えても、②'の右辺をk→k+1にした式より大きければ、n＝k+1の時も成り立つことが示せるので、このようなことをしています。

Answer 2

理科教

左辺≧右辺であるとき
左辺-右辺＞0であるということが言えれば
その不等式は成り立つということを示しています