Question

ぽ

（3）（i）の問題、3枚目の右上の図で、（2）で求めた座標を、直線と円の交点としてるんですが、（2）で求めた座標がこの図とどう関係あるんですか？🙇‍♂️

3 【II型共通 必須問題】 (配点 50点)
tを実数とする. 座標平面上に円
21-4 +0
3
4
0
Ct:x2+(t-8)x + y2-2ty +12=0
があり,その中心を Pt, 半径を とする.
Siro-1-
(1)Pの座標を求めよ. また,t がすべての実数を動くとき, rの最小値を求めよ.
(2) tの値に関わらず Ct が通る点の座標をすべて求めよ.
(i) D を求め, 座標平面上に図示せよ.
(3) tがt>0の範囲を動くとき, C の通過する領域をDとおく.
12
f
3
3
(ii) Co に内接する円のうち,その内部がすべてDに含まれる円を考える.そのよ
な円のうち, 半径が最大の円をK とする. K の中心の座標と半径を求めよ.

(2)C上に点(X, Y) がある条件は,
X2+(t-8)X+Y' - 2tY + 12=0 ... ①
すなわち,
(X-2Y)t+(X2-8X + Y+12) = 0
1'
が成り立つことである.
特に、 ①' tの値に関わらず成り立つ, す
なわち, tの恒等式となる条件は,

y
X-2Y=0 かつ広
2
X'-8X+Y°+12=0.
これは C がの値に関わらず②を満たす
点(X, Y) を通ることを意味する.
②の第1式より X = 2Y を得るから、これ
0
4
Po
y=.
6
第2式に代入すると,
5Y'-16Y +12=0.
(5Y-6)(Y-2)=0.
よって、②を満たす (X, Y) は
090312 6
2. §). (4. 2)
55)
であり、これが求める点の座標である。
(X,Y) がD に含まれる条件は、
(3)(i)
t0 のある実数に対して,
C, が点 (X, Y) を通ること
であり,これは言い換えると、
t0 のある実数に対して,
①が成り立つこと,
78-3
すなわち,
tの方程式 ①' がt > 0 の範囲に
解をもつこと
である.
①' の左辺をf(t) とおくと, X, Y の満
たすべき条件は,300
Co:(x-4)2+y^2=4
(Dの境界線のうち、円の部分が Co に相
当する。Co の長い方の弧 AB と線分AB
で囲まれた部分(周を含む)をDとする。
Cに内接し、その内部がすべてD に含ま
れる円をK' とすると, K'は「C に内接
LDに含まれる円」といえる.K' のうち
半径が最大であるものが円 K である.
線分ABの中点をMとし, MC の
中心P を結ぶ直線が, 長い方の弧 AB と
交わる点をTとすると, K は直径 MT の
円である.
Mのx座標, y 座標は,
1/12
16
(x座標) =
2 5
「X-2Y>0 かつ f(0) <0」
または 「X-2Y < 0 かつ f(0)>0」
②
( y 座標)=
(+2)-
である.
であり,Pの座標は (4,0) であるから,
4
MP=
f(0) = x2 - 8X + Y2 + 12
=(X-4)'+Y2-4
√(4-16)² + (0-1)² - 15
一方,
であることにも注意すると, Dは次の式で
表される.
P,T= (Co の半径) = 2.
よって, Tは線分 MP を
4
[ y< ± 1 x.
(x-4)2+y^<4
(+2):2-(2+√5):1/5
に外分する点であるから, 分点の公式より
そのx座標, y 座標は,
または
-√5.16+(2+√5).4
[(x-4)2+y^>4
( x 座標)=
5
(2+√5)+(-√5)
または (x,y)=(号) (4.2).
12
55
2
=4+
√5'
よって, D を図示すると, 次図の網掛け
部分になる. ただし, 境界は2点
-√5.0+(2+√5).0
(y座標)=-
12 6
5
A(2.). B(4. 2)
(2+5)+(-5)
のみを含み,他は含まない。