7 解の判別 (I)
次のxについての方程式の解を判別せよ. ただし,kは実数と
する.
(2) kx²-4x+k=0
1x
(1) x2-4x+k=0
講
「解を判別せよ」 とは, 「解の種類 (実数解か虚数解か) と解の個数
について考えて, 分類して答えよ」 という意味です.ということは,
(1)(2)も2次方程式だから, 「判別式を使えばよい!!」 と思いたくな
ですが、はたして・・・・・・.
解答
D
(1) z-4z+k=0 の判別式をDとすると, 201 -=4-k だから,
この方程式の解は次のように分類できる.
(i) 4-k<0 すなわち, k>4のとき
<D<0
D<0だから, 虚数解を2個もつ
(ii) 4-k=0 すなわち, k=4 のとき
D=0 だから, 重解をもつ
|D=0
(i) 4-k>0 すなわち, k<4のとき
D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(i)~ (ii)より,
k>4 のとき, 虚数解2個
k=4 のとき, 重解
k<4 のとき, 異なる2つの実数解
(2) (ア)=0 のとき
<D>0
次のように分類できる.
(i) 4-k<0 すなわち, ん<-2, 2<kのとき
D<0だから, 虚数解を2個もつ
(ii) 4-k=0 すなわち, k=±2 のとき
D=0 だから重解をもつ
(ii) 4-k0 すなわち, -2<k<2 のとき
D>0 だから, 異なる2つの実数解をもつ
(ア)(イ)より,
k= 0 のとき, 実数解1個
k<-2,2<kのとき, 虚数解 2個
k=±2 のとき, 重解
-2<<0,0<k<2のとさ, 異なる2つの実数
注 (2)のk=0 の場合と k=±2 の場合は,いずれも
ているという意味では同じように思うかもしれませ
の重解は活字を見てもわかるように元来2個あるも
を指し, 1次方程式の解は、元来1個しかないのです
は区別して書かないといけません. 仮に, 「kx2-4.コ
解をもつ」 となっていたら 「k≠0 かつ D=0」 とな
問題文の1行目をよく読んでください.
「次のxについての方程式 ......」 とありま
いての2次方程式・・・・・・」 とは書いてありま
の方程式は k= 0 となる可能性が残されているので
のxについての2次方程式･･････」 となっていたら,
前提になっていることになり, 解答の (ア) は不要とな
<k=0 のときは2次
ポイント
与えられた方程式は 4.x=0
方程式にならないの
.. x=0
で, 判別式は使えな
判別式は2次方程式でなければ使えな
数が文字のときは要注意
(イ)=0のとき
kx2-4x+k=0 の判別式をDとすると
い
D
-=4-k だから,この方程式の解は
4
演習問題 17
kを実数とするとき, 次の2次方程式の解を
(2) kx2-2kx-
(1) x2-(k+1)x+k²=0
有り難う御座います！