Question

えふどあ

「自然数nが平方数でないならば√nは無理数である」を証明せよ。

という問題です。
画像3枚目の赤線の部分が分かりません。

(1) 命題 「自然数n が平方数でないならば,は無理数である」 の対偶を述べ, もと
の命題が真であることを証明せよ。 ただし, 平方数とは, ある自然数の2 乗
る数である。
で
表
さ
れ
(2)実数の集合A={a+6/21a,b は整数} がある。このとき, √3 は A の要素では

1) 与えられた命題の対偶は,次の命題である。
「自然数nに対して, √n が有理数ならば, n は平方数であ
る」
この命題を証明する。
(証明) 自然数nに対して, n が有理数であるとき,
√n=pgは互いに素な自然数)
q
とされる。
d
p²
両辺を2乗すると
n =
よって p²=nq²
g2
nは自然数であるから, はかの約数である。
よって、 が,g' の最大公約数は
q²
また, p, q は互いに素であるから, 2, 92 は互いに素であ
る。
よって、 が、2の最大公約数は
ゆえに g2=1
> 0 であるから
g=1
したがって, n= p2であるから, n は平方数である。
対偶が示されたから, もとの命題も真である。
参考 「pg が互いに素であるならば, ','は互いに素で
「ある」は,次のようにして証明できる。
(証明) 命題の対偶 「p, g2 が互いに素でないならば,p, q
は互いに素でない」 を証明する。
p2,g2 が互いに素ではないとき,p', g2 は共通の素因数
gをもつ。
このとき
gは素数であるか
はgの倍数であり,かつ
らはg の倍数となる。
同様に,2はg の倍数であり,かつ g は素数であるから,
gもg の倍数である。
よって, p, q は共通の素因数g をもつから, P, q は互
いに素でない。

(1) 与えられた命題の対偶は,次の命題である。
「自然数nに対して, √n が有理数ならば, n は平方数であ
る」
この命題を証明する。
(証明) 自然数nに対して, nが有理数であるとき,
v=lpgは互いに素な自然数)
21
と表される。
両辺を2乗すると
n =
d
よって
p²=nq²
nは自然数であるから, 2 はかの約数である。
よって、が、2の最大公約数は
Q2
また,, gは互いに素であるから,が,Q2は互いに素であ
る。
よって、 2,2の最大公約数は 1
ゆえに
g2=1
> 0 であるから
g=1
したがって, n=p2であるから, n は平方数である。
対偶が示されたから,もとの命題も真である。
参考 「pg が互いに素であるならば, ', q2は互いに素で
「ある」 は,次のようにして証明できる。
(証明) 命題の対偶 「p, g2 が互いに素でないならば,p, g
は互いに素でない」 を証明する。
p', g2 が互いに素ではないとき,p', g2 は共通の素因数
gをもつ。
このとき
gは素数であるか
はgの倍数であり,かつ
pgの倍数となる。
同様に, 2 は g の倍数であり,かつgは素数であるから,
gもg の倍数である。
よって, p, q は共通の素因数g をもつから,P, q は互
いに素でない。
対偶が示されたから, もとの命題も真である。

数学ⅰ 証明 対偶

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

上の赤線の1行上に
「nは自然数であるから、q²はp²の約数である」
と書かれています。ここから、q²を何倍かした数字がp²であるということになりますので、p²＝a×q²と表すことができるので、a×q²とq²の最大公約数はq²になるということ、すなわちp²とq²の最大公約数はq²になるということです。

下の赤線は
pとqが互いに素であるなら、p²もq²も互いに素になります。互いに素ということは、最大公約数は1にしかなりません。
そして、上で述べたp²とq²の最大公約数がq²であったので、q²＝1ということになり、q＝1だといえる、事を証明しています。

えふどあ

ありがとうございます！理解しました！