数学
高校生
解決済み

「自然数nが平方数でないならば√nは無理数である」を証明せよ。

という問題です。
画像3枚目の赤線の部分が分かりません。

(1) 命題 「自然数n が平方数でないならば,は無理数である」 の対偶を述べ, もと の命題が真であることを証明せよ。 ただし, 平方数とは, ある自然数の2 乗 る数である。 で 表 さ れ (2)実数の集合A={a+6/21a,b は整数} がある。このとき, √3 は A の要素では
1) 与えられた命題の対偶は,次の命題である。 「自然数nに対して, √n が有理数ならば, n は平方数であ る」 この命題を証明する。 (証明) 自然数nに対して, n が有理数であるとき, √n=pgは互いに素な自然数) q とされる。 d p² 両辺を2乗すると n = よって p²=nq² g2 nは自然数であるから, はかの約数である。 よって、 が,g' の最大公約数は q² また, p, q は互いに素であるから, 2, 92 は互いに素であ る。 よって、 が、2の最大公約数は ゆえに g2=1 > 0 であるから g=1 したがって, n= p2であるから, n は平方数である。 対偶が示されたから, もとの命題も真である。 参考 「pg が互いに素であるならば, ','は互いに素で 「ある」は,次のようにして証明できる。 (証明) 命題の対偶 「p, g2 が互いに素でないならば,p, q は互いに素でない」 を証明する。 p2,g2 が互いに素ではないとき,p', g2 は共通の素因数 gをもつ。 このとき gは素数であるか はgの倍数であり,かつ らはg の倍数となる。 同様に,2はg の倍数であり,かつ g は素数であるから, gもg の倍数である。 よって, p, q は共通の素因数g をもつから, P, q は互 いに素でない。
(1) 与えられた命題の対偶は,次の命題である。 「自然数nに対して, √n が有理数ならば, n は平方数であ る」 この命題を証明する。 (証明) 自然数nに対して, nが有理数であるとき, v=lpgは互いに素な自然数) 21 と表される。 両辺を2乗すると n = d よって p²=nq² nは自然数であるから, 2 はかの約数である。 よって、が、2の最大公約数は Q2 また,, gは互いに素であるから,が,Q2は互いに素であ る。 よって、 2,2の最大公約数は 1 ゆえに g2=1 > 0 であるから g=1 したがって, n=p2であるから, n は平方数である。 対偶が示されたから,もとの命題も真である。 参考 「pg が互いに素であるならば, ', q2は互いに素で 「ある」 は,次のようにして証明できる。 (証明) 命題の対偶 「p, g2 が互いに素でないならば,p, g は互いに素でない」 を証明する。 p', g2 が互いに素ではないとき,p', g2 は共通の素因数 gをもつ。 このとき gは素数であるか はgの倍数であり,かつ pgの倍数となる。 同様に, 2 は g の倍数であり,かつgは素数であるから, gもg の倍数である。 よって, p, q は共通の素因数g をもつから,P, q は互 いに素でない。 対偶が示されたから, もとの命題も真である。
数学ⅰ 証明 対偶

回答

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上の赤線の1行上に
「nは自然数であるから、q²はp²の約数である」
と書かれています。ここから、q²を何倍かした数字がp²であるということになりますので、p²=a×q²と表すことができるので、a×q²とq²の最大公約数はq²になるということ、すなわちp²とq²の最大公約数はq²になるということです。

下の赤線は
pとqが互いに素であるなら、p²もq²も互いに素になります。互いに素ということは、最大公約数は1にしかなりません。
そして、上で述べたp²とq²の最大公約数がq²であったので、q²=1ということになり、q=1だといえる、事を証明しています。

えふどあ

ありがとうございます!理解しました!

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