Question

あいり

四角く囲ったところがなぜこうなるのか分かりません。
教えていただけると助かります！

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00000
重要 例題 113 漸化式と極限 (5) ･･･はさみうちの原理
| 数列{an}が0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1, 2, 3, ...….) を満たすとき
1
(2) 3-an+1</(3-4²) を証明せよ。
3
(1) 0<a<3を証明せよ。
(3) 数列{an} の極限値を求めよ。
指針▷(1) すべての自然数nについての成立を示す→ 数学的帰納法 の利用。
(2) (1) の結果,すなわち an> 0, 3-an> 0 であることを利用。
(3) 漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 そこで, (2)で示した不等
式を利用し、はさみうちの原理を使って数列{3-an}の極限を求める。 .....
はさみうちの原理 すべてのnについて pn≦an ≦ gn のとき
limp=limgn=α ならば
liman=α
noo
なお、次ページの補足事項も参照。
lim
n→∞
1240
(1,1).9
CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち
(3)(1)(2) から
n-1
解答
(1) 0<an<3
① とする｡
[1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると 0<a<3
n=k+1のときを考えると, 0<a<3であるから
ak+1=1+√1+ak >2>0
ak+1=1+√1+an <1+√1+3=3
したがって
0<ak+1 <3
SE
よって,n=k+1のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から,すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2) 3-an+1=2-√1+an
3-An
2+√1+an
<= (3-an)
したがって
[類 神戸大]
[Op.174 基本事項 ③3,基本 105
0<3-an≤(1) ¹(3-a₁)
1248
-
(3-α1) = 0 であるから
lim(3-an)=0
liman=3L
n→∞
n→∞0
1
【数学的帰納法による。
<0<a<3
0<a から √1+αk>1
ak<3から √1+αk <2
3-an>0であり、a>0か
ら 2+√1+an> 3
n≧2のとき、(2) から
3-an < (3-an-1)
<(1/2)(32)

数3 漸化式 極限

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

aporon

ak>0なので、1+ak>1
よって、√(1+ak)>1

次の行に関しては、ak<3とすれば同じようにいける

あいり

ak<3から、√（1＋ 3）＝√4＝2
ゆえに√（1＋ak）<2
ってことであってますか？

aporon

good👍

あいり

ありがとうございます！！🙇‍♀️