✨ ベストアンサー ✨
わかりにくかったらいってください
質問1
なぜaの値を出すのかですが、今回の範囲は
a≦、≦a +1の範囲で考えますから
f（α）=f（α+1）で求めた値のときはもしかしたら
どちらも最大値となる可能性がありますね？
それより少しだけaの値をずらしたとき
どちらかは最大値になりますが、片方は最大値ではなくなります。このようにそのaの値を境にして最大値が変化するので、ここで場合分けが必要になりますね！だからaの値を求めに行ってる分けです
質問2
これは先ほど言ったことを考えれば理解できるはずです。aの値を少しずらした時に最大値が変わる可能性があるかを考えてください。もしその範囲の設定がなければaの値は２つ出てきますね、解答に書いてある方ではない、-√33の方を考えた時、aの値を少し変えてもその時の範囲における最大値はx＝1の時で変わらないですよね？だからこのaの値は考える必要がないのでそれを先読みしてaの範囲を置いて考えているんです。なので別に先に範囲を指定しなくても、片方が意味がないってことを記述すれば問題ないですよ
質問3
a＋1≦3の時についてですがa＋1＝3の時から
aの値をどんどん小さくしてください
そうすると初めの方は最大値が
x＝aですが、途中からx＝1となりa＋1が1より小さくなると最大値はx＝a＋1の時になりますね
このように最大値が変化するのであれば場合分けが必要になるので、場合分けが不足のため不適切というのが質問の答えです。
a >3の時については
このときはずっと最大値はx＝a＋1の時なんですが、
もしa＝2.99999999とかいう値だったとしても
最大値ってx＝a＋1の時で変化ないですよね？
そうするにもう少し小さい値にしても最大値に変化がないのでそこで場合分けする必要がないということになります。
質問4
一度理解すれば簡単なことですが初めは難しいところですね、このaという値について考えましょう、これは定数ではなく変数です。要するにどんな値でも取りますよ！！っていう身勝手な値なんです。
だから範囲に1≦a＜9+√33/6
こうやって＝を含んでいても、1もとることできるけど…他の値も取れるんだよ！！ってこの範囲内をただただ動き回る値なんです。確かにa＝1の時最大値はx＝1の時になりますが、a＝1なんですから最大値はx＝aの時ともいえますよね？だから＝を含んでいてもいいんです。あなたの質問にお答えするならば、定数として考えているので変数としていろんな値を取るんだよっていうのが答えかと思います。
ちなみにこのような最大最小問題では＝をどこにつけるかは対して重要ではないことが多いです。
今回は三次関数で極値を二つ持っているのでこのように考えることができています
詳しく説明しますね
まず前提としてf（α）=f（α+1）というのがどういう状況かと言いますと、f（α）がkという値をとった時にそこからx軸を1だけ大きくしたところの値
f（α+1）もkという値を取るということです。
ですがここでよく考えてみてください。
一次関数（直線）、二次関数、三次関数、などなど
全てそうですが、ほとんどの場合単調増加、単調減少をし続けますよね？例えばy＝x ^2というとても簡単な二次関数を考えましょう
この時f（α）=f（α+1）が成り立つようなαの値を考えます。もしαが正の値だとしましょうその範囲に置いてグラフは単調増加しますよね？
なのでどんなαであってもf（α）＜f（α+1）となってしまいます。要するに範囲内で単調に増加減少をしてしまうと等しくなってくれないんです。
だから範囲内で極値があることによって増加と減少をさせることができます。今回であれば
-1＜α＜0と範囲をおくことで
０＜α＋1＜1となって
αとα＋1の間に極値を持って来れますよね？
そうすることで等しくなるような値を求めています。
これが三次関数になっても同じ様に考えればいいんです。f（α）=f（α+1）を解いた時に出てくるαの値は絶対に極値をαとα＋1で挟む様な値になってるんです。
質問1
-√33のとき最大値がx＝1の時になるのがイメージしにくいということですが、上で言ったことを考えてください。この時のαの値はf（α）=f（α+1）を満たす値ですよね？今回の三次関数は極値を二つ持っていることから、単調減少増加を繰り返すのでf（α）=f（α+1）を満たすためにはその範囲内で極値を持たなくてはいけません。要するに詳しく値を調べなくても、条件的にx＝1が（というか、α＜1＜α＋1となってるという方がわかりやすいですね）範囲内にあるということになります。
質問2
これについての答えも上の文で解決できますね。
もし1<α＜2だったら ２＜α＋1＜3となって
極値を挟んでいません。よって等しくなることがないんです。だからf（α）=f（α+1）を満たす様なαの範囲を考えると２＜α＜3が自然と出てくるということです。
補足
今回の場合、三次関数のグラフの形からf（α）=f（α+1）を満たすαは２つ出てくるとわかりますね。
わざわざ計算しなくても、グラフの形からf（α）=f（α+1）を満たすのが何個あるのかなどは見当がつきます。そしてそれがどこら辺かも見当がつきます。
要するに値なんて後で出して場合分けの場所だけ先に考えることもできますね。
回答ありがとうございます！！！
完全に疑問が解けました！
【2】と【3】【4】はそれぞれどちらも
α＜x＜α+1に極値を含む時を考えていても、f（α）=f（α+1）の時どちらも最大値になり、最大値の区別が出来なくなることから,
f（α）=f（α+1）の場所から少しずらす事で、最大、最小を作る場合分けを作る。
↓
しかしα＜1＜α+1の場合の
f（α）=f（α+1）の点における場合分けはずらしても最大は変化しないことから省略。
かなり考えもまとまったと思います！
粘り強く質問に答えて下さりとても助かりました！
ホントにありがとうございました！
細かな回答ありがとうございます！
Q1,Q3,Q4については自分の考えの矛盾するところや、考えの補足ができたと思います！
Q2に関してですが、
-√33の方を考えた時、aの値を少し変えてもその時の範囲における最大値はx＝1の時で変わらないですよね？
という、部分について質問です。
Q1 aが－√33であるときの値をとる時、その時の範囲で最大値=1であることが固定されるというのが、図的に少しイメージしずらいのですが、
これは9－√33/6≦X≦9－√33+6/6
という範囲に必ず極大値であるx=1が含まれているからですか？
Q2 2＜α＜3というのは
3から最も近い部分での
α＜x＜α+1という範囲を作りたかった結果出てきた範囲ですか？