Question

イズ

（3）の下線部が何でそうなるのかわからないので教えてほしいです。

47 軌跡(V)
mを実数とする.xy平面上の2直線
mx-y=0…①,
について、次の問いに答えよ.
(1) ①,②は m の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る
A, B の座標を求めよ.
(2) ①, ② は直交することを示せ .
(3) ①,②の交点の軌跡を求めよ.
x+my-2m-2=0...... ②
(1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず」 とあるので、
について整理」して, 恒等式です.
(2) 36 で勉強しました. ② が 「y=｣の形にできません。になる。
(3) ①② の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか
なり大変です.したがって, (1), (2) をうまく利用することになりますが, 45
の ⅢIを忘れてはいけません.
精講
解答
(1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0
.. A(0, 0)
②より(y-2)+(x-2)=0 だから
.. B(2, 2)
(2) m・1+(-1).m=0 だから,
①,②は直交する.
(31) 2①, ② の交点をPとすると ①②
より, ∠APB=90°
よって,円周角と中心角の関係よりPは2点A,
Bを直径の両端とする円周上にある。この円の中
心は ABの中点で (11)
<mについて整理
36
y
2
0
B
m
週高
また,AB=2√2より半径は√2
よって, (x-1)^2+(y-1)²=2
ここで,①はy軸と一致することはなく、②は直線y=2 と一致する
2 x

ことはないので,点(0, 2) は含まれない.
よって、求める軌跡は
円(x-1)^2+(y-1)=2 から,点(0, 2)を除いたもの.
注 一般に,y=mx+n 型直線は, y 軸と平行な直線は表せません.
それは,yの頭に文字がないので,yが必ず残って, z=kの形にでき
ないからです. 逆に, xの頭には文字がついているので, m=0 を
代入すれば,y=nという形にでき, x軸に平行な直線を表すことが
できます.
考
45 の要領で①,②の交点を求めてみると,
2 (1+m)
1+m²
x=
②に代入して,x+
9
y=
IC
2m(1+m)
1+m²
となり、まともにmを消去しようとすると容易ではなく, 除外点を見つける
こともタイヘンです.しかし,誘導がなければ次のような解答ができます。
YA
x=0のとき, ①より m=y
IC
77
y2_2y_2=0
IC
9.
∴.x2+y2-2y-2x=0 ∴.. (x-1)2+(y-1)²=2
次に, x=0のとき, ①より, y=0
これを②に代入すると, m=-1 となり実数mが存在するので,
点(0, 0) は適する.
以上のことより, 1, ② の交点の軌跡は円 (z-1)2+(y-1)2=2 から点
(0, 2) を除いたもの.
●ポイント 定点を通る2直線が直交しているとき,その交点は,
ある円周上にある. その際, 除外点に注意する

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Rousseau

こちらでどうでしょうか。

イズ

ありがとうございます！