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求める円の半径をxとします。
点Pから辺AB上に下ろした垂線の足を点Hとします。
AHは、∠PAH=30度なので、√3x
よって、HB=1-√3xと求まります。
ここから、台形PHBCについて考えます。
PH=x, BC=√3, HB=1-√3x, PC=√3+xですから、
点Pから辺BCに下ろした垂線の足を点Jとすると、
三角形PCJについて、三平方の定理が成り立ちます。
ここで、改めてPC=√3+x, PJ=HB=1-√3x, CJ=CB-PH=√3-xなので、
PJ^2+JC^2=PC^2、つまり、
(1-√3x)^2+(√3-x)^2=(√3+x)^2
これから、xの二次方程式に持ち込むと、
3x^2-6√3x+1=0
これから、x≒0.099となります。
（途中の計算は省略しました）
取り急ぎ失礼します。
すごくわかりました。
久しぶりに図形使ったので
考え方抜けてました。