Question

さこ

ベクトルに関する問題です。
黄色部分の問題が解説を見てもよく分かりません。
ベクトルOPの延長に交わる面は頭の中で考えても分かりそうにありません。

・でも絶対に一つの面しかないのになぜそれぞれ三つの面と交わる場合が仮定できるのでしょう。

・また【その中でlが最小になる面と交わる】という説明も理解できません。

どなたか分かりやすい言葉で教えてほしいです🙇🏼‍♂️

(1) 1辺の長さが1の立方体 OABC-DEFG において, M は辺 EA を, N は辺 CG を
それぞれ1:2の比 (EMMA=CN : NG = 1:2) に内分する点とする。 さら
に,線分 MN 上に点P を,線分 MN と線分 OP が直交するようにとる。
オカ
イ
キク
(b)線分 OP が 3点 A, C, D で定まる平面と交わる点を K とし,線分 OP のPを
越える延長が立方体 OABC-DEFGの面と交わる点をLとする。 このとき,
(a) MN= -
OK
OP
ア
× ウエ
ケ コ
サシ
ラ
OL
"
MP
MN
=
スセ
ソ
タ
である。
F
D
B
C
である。

8
9
OL=1OP=1 la +11 le+ 1ld
lc
19 19 19
線分 OP P を越える延長が
平面 DEFG と交わるとき,
平面 BCGF と交わるとき,
平面ABFE と交わるとき,
9
19
11
-l=1より
19
Z=1より
8
19
l=1より
1=
し
19 11 1
8

この中で最小の1はl= 19 だから,面 BCGFと交わり
11
OL
OP
=
1
19
11
→ス〜タ

ベクトル

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

はーとみ

原点と点Pを結ぶ直線が立方体のどの面と交わるのかが、問題文や図を見ただけでは確定できません。面ABEFと交わるかもしれないし、面DEFG かもしれないし、面BCFGかもしれない...(さすがに面OABCとかとは交わらないことは明らかだと思いますが。)

よって、交わる可能性のある3つの面について、ベクトルを用いて交点が平面上のどこに来るのかを調べる必要があります。

そして、どの面と交わるのかという判定方法を、この解説では「lが一番小さくなるか、つまり原点と交点の長さが一番短くなるか」で行っています。

もし、直線が面と交わらない場合、これは平面との交点が面の外側に来る、と言い換えることができますが、

この場合、面の中に交点が来る場合と比較してlの値が大きくなる、つまり原点と交点の長さが長くなる、ということは直感的にわかりますでしょうか。

これを受け入れらるなら、lが最も小さくなるときが、交点が面の内側に来る場合であると言うことができます。

ただ直感的に考えるのが苦手であれば、定石通り直線と平面との交点をベクトルを使って求めて、その交点が面の内側なのか、外側なのかを調べることになります。

もし必要があれば、定石にしたがった解法をお作りしようと思いますが、どうでしょうか？

さこ

コメントありがとうございます！

なるほど。少し理解できたような気がします。

これは【ベクトルOPの延長がどの平面とも立方体の外側か中側でいずれは交わる】という前提があり、その中で最も短い距離で交わった場所がベクトルlOPとの交点だと予測しているという解釈であっていますか？

定石に従った解法があればそれもぜひ教えて頂きたいです🙇🏻‍♂️

はーとみ

そんな感じです！

別解についてですが少しお待ちください。私の題意理解も兼ねてイチから解こうと思っています。

はーとみ

すでにお二方が丁寧な解説をされている中恐縮ですが...

解答が完成したので送っておこうかと思います。

かなり冗長なものではありますが、高校の教科書に書いてあるような内容だけを使って記述したつもりです。

見づらい部分や、計算ミス等がありましたらコメントください。

さこ

物凄く丁寧に解説してくださり本当にありがとうございます🙇🏼‍♂️
非常に分かりやすかったです！

Answer 2

ミント

定石に基づいた別解があるとの回答がありましたので、それが本質的にこの解法と変わらない事を指摘させていただきます。

本解法では、OPのP側の延長直線がどの面と交わるか分からないため3つの面全てについて調べている訳です。
平面とは本来無限に広がるものですから、それぞれの面を無限に広げれば、直線OPは3つの平面全てと交わるわけです。この時同時に交わることはないので、交わる順番があるはずです。この時一番最初に交わる平面をSと置いてみましょう。
今回の問題では面は無限に広がってはおらず、限定されています。では平面Sが本問題での交わる平面ではないとしたら、残った2つの平面のどちらかが答えとなります。しかしながら、残った2つの平面に交わる前に必ず平面Sには交わっているはずです。これは矛盾してますので、平面Sが本問題で求める平面となるわけです。
したがってlが最も小さいものを選択すれば良いことがわかります。

もうひと方の回答者さんはそれぞれの平面について式を算出して、それが立方体内に存在するかどうかを求める事で答えを出すとおっしゃっていますが、それは上記議論を数式で行っているに過ぎないため「一番短いものが答えである事」を数式で証明しているに過ぎません。

長くなりましたが読んでいただけると幸いです。
(BAはもうひと方にして頂いて大丈夫です)

さこ

コメントしてくださりありがとうございます🙇🏼‍♂️
おかげで解法の本質を理解することができました。
とてもわかりやすかったです！

Answer 3

カルロス

まず「平面」という言葉の定義なんですけども、平面DEFGとか平面BCGFとかありますが

この「平面」というのが

「4点を頂点とする正方形（立方体の面）」
という意味なのか
「4点を含む、無限に広がる平らな面」
というような意味なのか

という話なんですが、通常「平面」と言ったら後者のような意味で使われているのではないでしょうか。

模範解答もおそらく後者の意味で使っていると思います。

で、後者の意味だとしたら、OPを延長したものは（どういう順番かまではすぐにはわかりませんが）平面DEFGと交わりますし、平面BCGFとも交わりますし、平面ABFEとも交わります。

模範解答は『OPを延長したものが立法体の面DEFGと交わり、立法体の面BCGFとも交わり、立法体の面ABFEとも交わる』ということを言っているわけではないです。

ここまでが一つ目のご質問への回答になります。

ここからが二つ目のご質問への回答になります。

OPを延長したものは、どういう順番かはわからないけど、平面DEFGと交わり、平面BCGFとも交わり、平面ABFEとも交わるわけです。

で、最初に交わるのは『立法体の面』ですが、その後に交わるのは『立法体の面』ではなく、『立法体の面を含む平面』です（OPを延長していくと点Fに行く場合は、OPを延長したものは三つの面と同時に交わりますが、おそらくこうはならない）。

問題文に書いてある図を見てなんとなくおわかりになりますか？

OPを延長していくと、まず『立法体の面』と交わり、その『立法体の面』を通過した後『立法体の面を含む平面』と交わります。

模範解答の計算を拝借しますと

OPを19/11倍したら平面BCGFと交わり、
OPを19/ 9倍したら平面DEFGと交わり、
OPを19/ 8倍したら平面ABFEと交わる
と。

これは、

OPを19/11倍したらまず平面BCGFと交わって、

そこからさらにちょっと延ばしたら平面DEFGと交わって、

さらにちょっと延ばしたら平面ABFEと交わる

ということですね。

で、OPを19/11倍したらまず平面BCGFと交わるわけですが、先ほど述べたとおり、最初に交わるのは立法体の面で交わります。つまり、OPを延長したものはまず『立法体の面BCGF』と交わり、したがってLは立法体の面BCGF上の点であるということになります。

で、OPを延長していくとまず立法体の面BCGF内の点Lを通り、その後平面DEFGと交わるわけですが、『立法体の面DEFG』と交わっているわけではないです。『立法体の面DEFGを含む平面』と交わっています。

さらに、延長していくと平面ABFEと交わるわけですが、これも『立法体の面ABFE』と交わっているわけではなく、『立法体の面ABFEを含む平面』と交わっています。

で、結局「最小の〜」とは何なのかというと、

OPを19/11倍したら平面BCGFと交わり、
OPを19/ 9倍したら平面DEFGと交わり、
OPを19/ 8倍したら平面ABFEと交わる
わけですが、

19/11が最小
⇒OPはまず最初に平面BCGFと交わる

ということです。で、OPはまず最初に平面BCGFと交わるということは、OPはまず立法体の面BCGFと交わるということであり、Lは立法体の面BCGF上にあるということです。

さこ

丁寧に解説してくださりありがとうございます🙇🏻‍♂️
文章が綺麗で理解するのにとても役立ちました！